COR. 05/12

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A.1.a. $f = uv$ avec : \[\begin{aligned} &u(x) = \mathrm e^x&\quad&\implies&\quad&v'(x) = \mathrm e^x&\\ &v(x) = \sin(x)&\quad&\implies&\quad&v'(x) = \cos(x).& \end{aligned}\] Donc pour tout réel $x\in\left[0;\pi\right]$: \[\begin{aligned} f'(x) &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)& \\ &= \mathrm e^x\sin(x) + \mathrm e^x\cos(x)& \\ &= \mathrm e^x(\sin(x) + \cos(x)).& \end{aligned}\]

A.1.b. On sait que pour tout réel $x$, $\mathrm e^x > 0$.
Pour tout $x\in\left]0;\frac\pi2\right[$, $\cos(x) > 0$ et $\sin(x) > 0$ donc \[\big(\cos(x)+\sin(x)\big) > 0.\] Donc $f'(x)$, produit de deux facteurs strictement positifs, est strictement positif.
Puisque $f'$ est strictement positive sur $\left]0;\frac\pi2\right[$, $f$ est strictement croissante sur $\left[0;\frac\pi2\right[$.

A.2.a. On a: \[\begin{aligned} f(0) &= \mathrm e^0\sin(0) = 1\times 0 = 0\;;& \\ f'(0)&=\mathrm e^0\big(\sin(0)+\cos(0)\big) = 1\times (0+1) = 1.& \end{aligned}\] Donc l'équation de $T$ est: \[\begin{aligned} y &= f'(0)(x-0) + f(0)& \\ \iff y &= 1x + 0& \\ \iff y &= x.& \end{aligned}\]

A.2.b. $f' = uv$ où $u$ et $v$ sont les fonctions dérivables sur $[0;\pi]$ telles que: \[\begin{aligned} &u(x) = \mathrm e^x&\quad&\implies&\quad&u'(x) = \mathrm e^x\;;& \\ &v(x) = \sin(x) + \cos(x)&\quad&\implies&\quad&v'(x) = \cos(x) - \sin(x).& \end{aligned}\] Donc $f'$ est dérivable sur $[0;\pi]$ et: \[\begin{aligned} f''(x) &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)& \\ &= \mathrm e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big) + \mathrm e^x\big(\cos(x) - \sin(x)\big)& \\ &=\mathrm e^x\big(\cancel{\sin(x)} + \cos(x) + \cos(x) - \cancel{\sin(x)}\big)& \\ &=2\mathrm e^x\cos(x).& \end{aligned}\] Or sur $\left[0;\frac\pi2\right[$, $\cos(x) > 0$ et on sait que $\mathrm e^x > 0$. Donc $f''(x) > 0$ sur $\left[0;\frac\pi2\right]$, ce qui entraîne que $f$ est convexe sur $\left[0;\frac\pi2\right]$.

A.2.c. Puisque $f$ est convexe sur $\left[0;\frac\pi2\right]$, sa courbe est au dessus de ses tangentes, donc en particulier au dessus de $T$.
Soit $x\in\left[0;\frac\pi2\right]$. Le point d'abscisse $x$ de $T$ a pour ordonnée $y = x$. Le point d'abscisse $x$ de $\mathscr C_f$ a pour ordonnée $f(x)$. On a donc: \[f(x) \ge x \implies \mathrm e^x\sin(x) \ge x.\]

A.3. Pour tout $x\in\left]\frac\pi2;\pi\right]$, $\cos(x) < 0$, donc $f''(x) < 0$ et $f\left(\frac\pi2\right) = 0$.
La dérivée seconde de $f$ s'annule en changeant de signe en $\frac\pi2$. C'est donc l'abscisse de son point d'inflexion.

B.1. $\mathrm e^x\sin(x) = u(x)v'(x)$ avec : \[\begin{aligned} u(x) &=\mathrm e^x&\quad&\Longrightarrow&\quad u'(x)&=\mathrm e^x& \\ v'(x) &=\sin(x)&\quad&\Longleftarrow&\quad v(x)&=-\cos(x).& \end{aligned}\] Puisque $u'$ et $v'$, dérivables, sont continues, on peut procéder à une intégration par parties. \[\begin{aligned} I &= \left[u(x)v(x)\right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} u'(x)v(x)\mathrm dx& \\ &=\left[-\mathrm e^{x}\cos(x)\right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2}-\mathrm e ^x\cos(x)\mathrm dx& \\ &=-\mathrm e^{\pi/2}\cos\left(\frac\pi2\right) + \mathrm e^0\cos(0) +\int_0^{\pi/2}\mathrm e ^x\cos(x)\mathrm dx& \\ &=-1\times 0 + 1\times 1 + J& \\ &=1+J.& \end{aligned}\] Considérons maintenant que $\mathrm e^x\sin(x) = u(x)v'(x)$ avec: \[\begin{aligned} &u(x)=\sin(x)&\quad&\Longrightarrow&\quad&u(x) = \cos(x)& \\ &v'(x)=\mathrm e^x&\quad&\Longleftarrow&\quad&v(x)=\mathrm e^x.& \end{aligned}\] Puisque $u'$ et $v'$ sont continues, on peut procéder à une intégration par parties. \[\begin{aligned} I &= \left[u(x)v(x)\right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} u'(x)v(x)\mathrm dx& \\ &=\left[\mathrm e^x\sin(x)\right]_0^{\pi2} - \int_0^{\pi/2}\mathrm e^x\cos(x)\mathrm dx& \\ &=\mathrm e^{\pi/2}\sin\left(\frac\pi2\right) - \mathrm e^0\sin(0) - J& \\ &=\mathrm e^{\pi/2}\times 1 - 1\times 0 - J& \\ &=\mathrm e^{\pi/2} - J.& \end{aligned}\]

B.2. Additionnons les deux égalités obtenues: \[\left.\begin{matrix}I = 1+J\\I = \mathrm e^{\pi/2}- J\end{matrix}\right\} \implies 2I = 1 + \mathrm e^{\pi/2} \implies I = \frac{1+\mathrm e^{\pi/2}}2.\]

Puisque l'on a montré à la question A.2.c. que sur $\left[0;\frac\pi2\right]$, $\mathrm e^x\sin(x) \ge x$, l'aire cherchée est obtenue par: \[\begin{aligned} &\int_0^{\pi/2}\big(\mathrm e^x \sin(x) - x\big)\mathrm dx & \\ =&\int_0^{\pi/2}\mathrm e^x\sin(x)\mathrm dx - \int_0^{\pi/2}x\mathrm dx& \\ =&\frac{1+\mathrm e^{\pi/2}}2 - \left[\frac{x^2}2\right]_0^{\pi/2}& \\ =&\frac{1+\mathrm e^{\pi/2}}2 - \frac{\pi^2}8 + \frac{0^2}8& \\ =&\frac{4+4\mathrm e^{\pi/2} - \pi^2}8.& \end{aligned}\]

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