COR. 03

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L'affirmation n°1 est fausse. En effet:
L'ensemble $E$ compte 7 éléments. Donc le nombre de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ est: \[7 \times 6 \times 5 = 210.\] L'ensemble $F$ compte 10 éléments. Donc le nombre de combinaisons à 4 éléments de $F$ est: \[\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4\times 3 \times 2 \times 1} = 210.\] Il y a donc autant de 3-uplets de $E$ qu'il y a de combinaisons à 4 éléments de $F$.

L'affirmation n°2 est vraie. En effet:
Le carré ABCD a pour aire $\mathrm{AB}^2 = 3^2 = 9$.
La fonction $x\mapsto x^2$ étant continue et positive sur $[0;3]$, l'aire du domaine hachuré est donc \[\int_0^3 x^2\mathrm dx = \left[\dfrac{x^3}3\right]_0^3 = \frac{3^3}3 - \frac{0^3}3 = 9.\]

L'affirmation n°3 est fausse.
Posons \[\begin{aligned} u(x) &= \ln(x)&\quad&\implies&\quad u'(x) &= \frac 1x &\\ v'(x) &= x &\quad&\Longleftarrow&\quad v(x) &= \frac{x^2}2.& \end{aligned}\] Puisque $u'$ et $v'$ sont continues, on peut procéder à une intégration par parties. \begin{align*} \int_1^2 x\ln(x)\mathrm dx &=\int_1^2 u(x)v'(x)\mathrm dx& \\ &=\big[u(x)v(x)\big]_1^2 - \int_1^2 u'(x)v(x)\mathrm dx& \\ &=\left[\frac{x^2}2\ln(x)\right]_1^2 - \int_1^2 \frac 1x \times \frac{x^2}2\mathrm dx& \\ &=\left[\frac{x^2}2\ln(x)\right]_1^2 - \int_1^2 \frac x 2 \mathrm dx& \\ &=\left[\frac{x^2}2\ln(x)\right]_1^2 - \left[\frac{x^2}4\right]_1^2& \\ &=\left[\frac{2^2}2\ln(2) - \frac{1^2}2\ln(1)\right]-\left[\frac{2^2}4 - \frac{1^2}4\right]_1^2& \\ &=2\ln(2) - \frac 3 4.& \end{align*}

L'affirmation n°4 est vraie.
Pour tout réel $x$: \begin{align*} 2f(x) - \mathrm e^x &= 2\left(\mathrm e^x + \mathrm e^{2x}\right) - \mathrm e^x =2\mathrm e^x + 2\mathrm e^{2x} - \mathrm e^x = \mathrm e^x + 2\mathrm e^{2x}.& \\ f'(x) &= \mathrm e^x + 2\mathrm e^{2x}.& \end{align*} Puisque, pour tout réel $x$, $f'(x) = 2f(x) - \mathrm e^x$, $f$ est bien solution de l'équation différentielle (E).

L' affirmation n°5 est vraie. Pour tout entier naturel $n$, on a : \[\begin{aligned} \cos(n) &\le 1& \\ \implies (x-1)\mathrm e^n + \cos(n) &\le (x-1)\mathrm e^n + 1& \\ \implies u_n &\le (x-1)\mathrm e^n + 1.& \end{aligned}\] On sait que : \[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \mathrm e^n = +\infty.\]
Puisque $x<1$, $x - 1 < 0$. Donc \[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} (x-1)\mathrm e^n = -\infty.\]
On en conclut que \[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \mathrm (1-x)e^n + 1 = -\infty.\] La suite $(u_n)$ est majorée par une suite tendant vers $-\infty$. Elle tend donc elle-même vers $-\infty$.

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