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Partie A.

1. Pour tout $x\in[0;1]$: \[f_1'(x) = 1\cdot\mathrm e^{1-x} + x\cdot(-\mathrm e^{1-x}) = (1-x)\mathrm e^{1-x}.\] Puisque le facteur $\mathrm e^{1-x}$ est strictement positif, $f_1'(x)$ est du signe de $1-x$.
   Or si $x\in[0;1[$: \[x<1 \implies -x>-1 \implies 1 - x > 1 - 1 \implies 1 - x > 0.\] Donc $f_1'(x)$ est strictement positif pour $x\in[0;1[$
2. La fonction $f_1$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$:
   
   Avec $f(0) = 0\mathrm e^{1-0} = 0$ et $f(1) = 1\mathrm e^{1-1} = \mathrm e^0 = 1$.
3. Puisque
   • $f(0) = 0$ donc $f(0) < 0,1$ et $f(1) = 1$ donc $f(1) > 0,1$;
   • $f$ est dérivable donc continue sur $[0;1]$;
   • $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
   Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure que l'équation $f(x) = 0,1$ admet une unique solution dans $[0;1]$.

Partie B.

1. 1. Puisque $x\in[0;1]$: $0 \le x \le 1$.
      Puisque $x \ge 0$, pour tout entier naturel $n$, $x^n \ge 0$. Donc: \[\begin{aligned} &0 \le x \le 1& \\ \implies &x^n \times 0 \le x^n \times x \le x^n \times 1& \\ \implies &0 \le x^{n+1} \le x^n&. \end{aligned}\]
   2. Puisque $\mathrm e^{1-x}$ est une quantité strictement positive: \[\begin{aligned} &0 \le x^{n+1} \le x^n& \\ \implies &0\mathrm e^{1-x} \le x^{n+1}\mathrm e^{1-x} \le x^n\mathrm e^{1-x}& \\ \implies &0 \le x^{n+1}\mathrm e^{1-x} \le x^n\mathrm e^{1-x}.& \end{aligned}\] Intégrons cette inégalité : \[\begin{aligned} &0 \le x^{n+1}\mathrm e^{1-x} \le x^n\mathrm e^{1-x}& \\ \implies &\int_0^1 0\mathrm dx \le \int_0^1x^{n+1}\mathrm e^{1-x}\mathrm dx \le \int_0^1 x^n\mathrm e^{1-x}\mathrm dx& \\ \implies &0 \le u_{n+1} \le u_n.& \end{aligned}\]
   3. Nous venons de montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante mais minorée par $0$. Elle est donc convergente.
2. 1. Posons pour tout $n\in\mathbb N^*$ et tout $x\in[0;1]$: \[\begin{aligned} &u(x) = x^{n+1}& \quad &\implies& \quad &u'(x) = (n+1)u^n& \\ &v'(x) = \mathrm e^{1-x}& \quad &\Longleftarrow& \quad &v(x) = \frac{\mathrm e^{1-x}}{-1} = -\mathrm e^{1-x}& \end{aligned}\] On a $f_{n+1}(x) = u(x)v'(x)$ et puisque $u'$ et $v'$ sont continues sur $[0;1]$, on peut procéder à une intégration par parties. \[\begin{aligned} u_{n+1} &= \int_0^1 f_{n+1}(x)\mathrm dx = \int_0^1 u(x)v'(x)\mathrm dx& \\ &=\big[u(x)v(x)\big]_0^1 - \int_0^1 u'(x)v(x)\mathrm dx& \\ &=\big[x^{n+1}\left(-\mathrm e^{1-x}\right)\big]_0^1 - \int_0^1 (n+1)x^n\left(-\mathrm e^{1-x}\right)\mathrm dx& \\ &=\big[-x^{n+1}\mathrm e^{1-x}\big]_0^1 + (n+1)\int_0^1 x^n\mathrm e^{1-x}\mathrm dx& \\ &=-1^{n+1}\mathrm e^{1-1} + 0^{n+1}\mathrm e^{1-0} + (n+1) u_n& \\ &=-1 + (n+1) u_n.& \end{aligned}\] On a donc bien, pour tout entier naturel $n$ non nul: \[u_{n+1} = (n+1)u_n - 1.\]
   2. On remarque que l'intégrale à calculer est aussi $u_n$.
      En ligne 3, u doit prendre la valeur de $u_1$, soit $\mathrm e-2$.
      Il faut encore calculer $n-1$ termes pour arriver à $u_n$. C'est pourquoi la boucle doit se commencer par range(1,n) (qui, partant de 1, s'arrêtera à n-1 donc se répétera bien n-1 fois.
      Dans la boucle, on calcule la valeur suivante de $u_n$, donc u = (i+1)*u - 1.
      Le listing complété est donc:
      from math import exp def suite(n): u = exp(1) - 2 for i in range (1,n): u = (i+1)*u - 1 return u
3. 1. Puisque $x\in[0,1]$, $1- x \le 1$.
      Puisque l'exponentielle est une fonction strictement croissante: \[1 - x \le 1 \implies \mathrm e^{1-x} \le \mathrm e^1 \implies x^n\mathrm e^{1-x} \le x^n\mathrm e.\] Intégrons cette inégalité: \[\int_0^1 x^n\mathrm e^{1-x}\mathrm dx \le \int_0^1 x^n\mathrm e\:\mathrm dx \implies u_n \le \mathrm e\int_0^1 x^n\mathrm dx\] Or: \[\mathrm e\int_0^1x^n\mathrm dx = \mathrm e\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 =\mathrm e\left(\frac{1^{n+1}}{n+1} - \frac{0^{n+1}}{n+1}\right) = \frac{\mathrm e}{n+1}.\] Donc on a bien, pour $n\in\mathbb N^*$, $u_n \le \dfrac{\mathrm e}{n+1}$.
   2. Il est clair que $u_n$ étant l'intégrale d'une fonction positive (avec des bornes croissantes), $u_n \ge 0$.
      Il est clair aussi que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{\mathrm e}{n+1} = 0$.
      Donc, encadrée par deux suites tendant vers $0$, la suite $(u_n)$ doit elle aussi tendre vers $0$.

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