COR. 11

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1. Par linéarité de l'espérance : \[\operatorname E(T) = \operatorname E(T_1 + T-2) = \operatorname E(T_1) + \operatorname E(T_2) = 40 + 60 = 100.\] En moyenne, un client doit attendre 100 minutes (1H40) cumulées sur le week-end.

2. On a $\operatorname V(T_1) = \sigma^2(T_1) = 10^2 = 100$ et $\operatorname V(T_2) = \sigma^2(T_2) = 16^2 = 256$.
$T_1$ et $T_2$ étant indépendantes, on a: \[\operatorname V(T) = \operatorname V(T_1+T_2) = \operatorname V(T_1) + \operatorname V(T_2) = 100 + 256 = 356.\]

3. On cherche ici à majorer $P\big(T\in[60;140]\big)$.
Le centre de $]60;140[$ est $\dfrac{60+140}2 = 100 = \operatorname E(T)$ et la distance du centre à l'une des bornes est $140 - 100 = 40$. On a donc l'équivalence: \[T \in]60;140[ \iff \lvert T - 100 \rvert < 40.\] En considérant l'événément contraire : \[\begin{aligned} P\big(\lvert T - 100 \rvert < 40\big) &> 0,77& \\ \iff P\big(\overline{\lvert T - 100 \rvert < 40}\big) &\le 1 - 0,77& \\ \iff P\big(\lvert T - 100 \rvert \ge 40\big) &\le 0,23.& \end{aligned}\] Or selon l'inégalité de Bienaymé-Tchébychev: \[\begin{aligned} P\big(\lvert T - \operatorname E(T)\rvert \ge 40\big) &\le \frac{\operatorname V(T)}{40^2}& \\ \iff P\big(\lvert T - 100\rvert \ge 40\big) &\le \frac{366}{1600}& \\ \iff P\big(\lvert T - \operatorname E(T)\rvert \ge 40\big) &\le 0,22875& \\ \implies P\big(\lvert T - \operatorname E(T)\rvert \ge 40\big) &\le 0,23& \end{aligned}\] On a donc bien $P\big(T\in[60;140]\big) > 0,77$.

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code : 3165