COR. 10

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1. $M_N$ est le nombre moyen de donneurs universels par ville sur l'ensemble des $N$ villes choisies.

2. Par linéarité de l'espérance : \[\begin{aligned} \operatorname E(M_N) &= \operatorname E\left(\dfrac{X_1 + \cdots + X_N}{N}\right)& \\ &=\frac 1 N \operatorname E(X_1 + \cdots + X_N)& \\ &=\frac 1N (\operatorname E(X_1) + \cdots + \operatorname E(X_N)& \\ & \frac 1N\times N\times 7,14& \\ &= 7,14.& \end{aligned}\]

3. D'une part : \[\operatorname V(M_N) = \operatorname V\left(\frac{X_1 + \cdots + X_N}N\right) = \frac 1{N^2} \operatorname V(X_1 + \cdots + X_N).\] D'autre part, les variables $X_1$, $X_2$, \ldots ,$X_N$ étant indépendantes : \[\begin{aligned} \operatorname V(M_N) &= \frac 1{N^2} \operatorname V(X_1 + \cdots + X_N)& \\ &= \frac 1{N^2}(\operatorname V(X_1) + \cdots + \operatorname V(X_N))& \\ &=\frac 1{N^2} \times N \times 6,63& \\ &=\frac{6,63}N.& \end{aligned}\]

4. Le centre de l'intervalle $[7\;;\;7,28]$ est $\dfrac{7+7,28}2 = 7,14$. Sa distance aux bornes est $7,14 - 7 = 0,14$. Donc \[7 < M_n < 7,28 \iff \lvert M_n - 7 \rvert < 0,14.\] L'événement contraire de $\bigl\{\lvert M_N - 7 \rvert < 0,14\bigr\}$ est $\bigl\{\lvert M_n - 7 \rvert \ge 0,14\bigr\}$ donc : \[P\bigl(7 < M_n < 7,28\bigr) \ge 0,95 \iff P\bigl(\lvert M_n - 7 \rvert \ge 0,14\bigr) \le 0,05.\] L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev stipule que : \[\begin{aligned} P\bigl(M_n - \operatorname E(M_n) \ge 0,14 \bigr) &\le \frac{\operatorname V(M_n)}{0,14^2}& \\ \iff P\bigl(M_n - \operatorname E(M_n) \ge 0,14 \bigr) &\le \frac{6,63}{0,0196N}& \end{aligned}\] On cherche donc $N$ tel que \[\begin{aligned} \frac{6,63}{0,0196N} &\le 0,05& \\ \iff \frac{6,63]{0,05} &\le 0,0196N& \\ \iff \frac{132,6}{0,0196} &\le N.& \end{aligned}\] Or $\dfrac{132,6}{0,0196} \approx 6765,3$ et $N$ est entier, donc la plus petite valeur de $N$ cherchée est 6766.

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code : 3164