COR. 09

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1. Puisque $X_1\hookrightarrow \mathscr B(20\;;\;0,165)$ : \[\begin{aligned} \operatorname E(X_1) &= np = 20\times 0,165 = 3,3\;;& \\ \operatorname V(X_1) &=np(1-p) = 20\times 0,165 \times 0,835 = 2,7555.& \end{aligned}\]

2. Puisque $X_1$, $X_2$ et $X_3$ suivent la même loi binomiale, $\operatorname E(X_1) = \operatorname E(X_2) = \operatorname E(X_3)=3,3$ et $\operatorname V(X_1) = \operatorname V(X_2) = \operatorname V(X_3) = 2,7555$.

Donc par linéarité de l'espérance: \[\begin{aligned} \operatorname E(S) &= \operatorname(X_1+X_2+X_3)& \\ &= \operatorname E(X_1) + \operatorname E(X_2) + \operatorname E(X_3) & \\ &=3 \times 3,3& \\ &= 9,9.& \end{aligned}\] Les variables $X_1$, $X_2$ et $X_3$ étant indépendantes : \[\begin{aligned} \operatorname V(S) &= \operatorname V(X_1+X_2+X_3)& \\ &= \operatorname V(X_1) + \operatorname V(X_2) + \operatorname V(X_3)& \\ &=3\times 2,7555& \\ &= 8,2665.& \end{aligned}\]

3. Le milieu de l'intervalle $]6\;;\;14[$ est $\dfrac{6+14}2 = 10 = \operatorname E(S)$.

La distance entre les bornes de l'intervalle et le centre est $14 - 10 = 4$. Donc: \[S \in ]6\;;\;14[\iff \lvert S - 10\rvert < 4.\] L'événement contraire de $S\in]6;14[$ est donc $\lvert S - 10\rvert \ge 4$.

Considérons donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $t = 4$: \[P\left(\lvert S - \operatorname E(S)\rvert \ge 4\right) \le \frac{\operatorname V(X)}{4^2} \iff P\left(\lvert S - 10\rvert \ge 4\right) \le \frac{8,2665}{16}.\] Or $\dfrac{8,2665}{16}\approx 0,517$, donc on peut affirmer que : \[\begin{aligned} P\left(\lvert S - 10\rvert \ge 4\right) &\le 0,52& \\ \implies -P\left(\lvert S - 10\rvert \ge 4\right) &\ge -0,52& \\ \implies 1 - P\left(\lvert S - 10\rvert \ge 4\right) &\ge 1 - 0,52& \\ \implies P(S\in]6;14[) &\ge 0,48. \end{aligned}\]

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code : 3163