COR. 08

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1. La somme des probabilités dans la loi d'une variable aléatoire doit être égale à 1. Donc \[\begin{aligned} P(X=1) + P(X=2) + \cdots + P(X=5) &= 1& \\ \iff 1a + 2a + 3a + 4a + 5a &= 1& \\ \iff 15a &= 1& \\ \iff a &= \frac 1{15}.& \end{aligned}\]

2. \[\begin{aligned} \operatorname E(X) &= 1a \times 1 + 2a \times 2 + 3a\times 3 + 4a\times 4 + 5a\times 5& \\ &=a + 4a + 9a + 16a + 25a& \\ &= 55a = \dfrac{55}{15} = \dfrac{11}3.& \end{aligned}\] Donc \[\begin{aligned} \operatorname V(X) &= \dfrac1{15}(1 - \dfrac{11}3)^2 + \dfrac{2}{15}(2 - \dfrac{11}3)^2 + \cdots + \dfrac5{15}(5 - \dfrac{11}3)^2& \\ &=\dfrac 1{15}\times\dfrac{64}9 + \dfrac{2}{15}\times\dfrac{25}9 + \dfrac{1}{5}\times \dfrac49 +\dfrac4{15}\times \dfrac 19 + \dfrac13\times \dfrac{16}9& \\ &=\dfrac{14}9& \end{aligned}\]

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code : 3162