COR. 04/12

retour

1. Soit $H_0$ le projeté orthogonal de $O$ sur $(MM')$ et $H_1$ celui de $M$ sur $(AB)$.

On a $OH_0 = MH_1$ et $H_0M = OH_1$. Or, dans le triangle rectangle $OH_1M$: \[\sin(x) = \dfrac{H_1M}{OM} = \dfrac{H_1M}1 = H_1M \implies OH_0 = \sin(x).\] \[\cos(x) = \dfrac{OH_1}{OM} = \dfrac{OH_1}{1} = OH_1 \implies H_0M = \cos(x).\] $H_0$ est le milieu de $[MM']$, donc l'aire du triangle $OMM'$ est \[f(x) = \dfrac{OH_0 \times MM'}2 = \dfrac{OH_0\times \cancel 2\times H_0M}{\cancel 2} = \sin(x)\cos(x).\] $f$ est dérivable sur $\left[0;\dfrac{\pi}2\right]$ et: \[\begin{aligned} f'(x) &= \cos(x)\cdot\cos(x) + \sin(x)\cdot(-\sin(x)) & \\ &= \left(\cos(x)\right)^2 - \left(\sin(x)\right)^2& \\ &=\big(\cos(x)+\sin(x)\big)\big(\cos(x) - \sin(x)\big).& \end{aligned}\] Les fonctions $x\mapsto \cos(x)$ et $x\mapsto \sin(x)$ sont positives et ne s'annulent pas en même temps sur $\left[0;\dfrac{\pi}2\right]$.
Donc le facteur $\big(\cos(x) + \sin(x)\big)$ est strictement positif.
La fonction $x\mapsto \cos(x)$ est strictement décroissante sur $\left[0;\dfrac{\pi}2\right]$ tandis que $x\mapsto \sin(x)$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{\pi}2\right]$.
De plus, $\cos\left(\dfrac{\pi}4\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}4\right) = \dfrac{\sqrt 2}2$.
Donc la différence $\big(\cos(x) - \sin(x)\big)$ est strictement positive sur $\left[0;\dfrac{\pi}4\right[$, nulle en $\dfrac{\pi}4$ et strictement négative sur $\left]\dfrac{\pi}4;\dfrac{\pi}2\right]$.
On peut donc réaliser le tableau de variations suivant.

Avec \[\begin{aligned} f(0) &= \sin(0)\cos(0) = 0\times 1 = 0\;;& \\ f\left(\frac{\pi}4\right) &= \sin\left(\frac\pi4\right)\cos\left(\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt{2}}2\times \frac{\sqrt 2}{2} = \frac 2 4 = \frac 1 2\;;& \\ f\left(\frac\pi2\right) &= \sin\left(\frac\pi2\right)\cos\left(\frac\pi2\right) = 1 \times 0 = 0.& \end{aligned}\]

2. D'après le tableau de variations qui vient d'être réalisé, $f$ admet un maximum en $\dfrac{\pi}4$ égal à $\dfrac 12$.
Donc l'aire maximale du triangle $OMM'$ est $\dfrac 12$, atteinte lorsque l'on choisit $x = \dfrac{\pi}4$.

retour

code : 3121