COR. 02

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A.1. $-1$ est une racine évidente de $-x^2 + 7x + 8$ puisque: \[-(-1)^2 + 7\times (-1) + 8 = -1-7+8 = 0.\] Le produit des racines est égal à $\frac ca = \frac 8{-1} = -8$. L'autre racine est donc $8$.
Le coefficient de degré $2$ est $a=-1$, donc ce polynôme est négatif à l'extérieur de ses racines.
L'inéquation $-x^2+7x+8\ge 0$ a donc pour ensemble solution $S = [-1;8]$.

A.2. Puisque \[-x^2 + 7x + 9 \ge 1 \iff -x^2 + 7x + 8 \ge 0\] et que $]0;8]\subset[-1;8]$, on sait que pour tout $x\in]0;8]$: \[-x^2 + 7x + 9 \ge 1 \implies \ln(-x^2 + 7x + 9) \ge 0.\] Les autres facteurs sont $10$ et $x$, tous deux strictement positifs, donc on peut affirmer que \[f(x) \ge 0.\]

A.3. La portion de $\mathscr C_f$ formée par les points d'abscisse comprise entre 0 et 8 est au dessus de l'axe des abscisses.

B.1. $N\left(x,0\right)$ et $P\left(0,f(x)\right)$.

B.2. Le rectangle a pour longueur (en unités du repère): \[ON = \lvert x \rvert = x.\] et pour largeur (en unités du repère): \[OP = \lvert f(x)\rvert = f(x).\] Donc son aire est (en unités d'aire du repère): \[\begin{aligned} \mathscr A(x) &= ON \times OP& \\ &= x \times \frac{10\ln(-x^2+7x+9)}x& \\ &= 10\ln(-x^2 + 7x + 9).& \end{aligned}\]

B.3. Considérons la fonction polynôme de degré 2 $x\mapsto -x^2+7x+9$. Son coefficient de degré 2 est $a=-1$, donc elle admet un maximum atteint uniquement en \[x = -\frac b{2a} = -\frac{7}{2\times(-1)} = \frac 72.\] Ce maximum est donc égal à \[f\left(\frac72\right) = -\left(\frac72\right)^2 + 7\times \frac 72 + 9 = \frac{85}4.\] Donc, sachant que la fonction $x\mapsto \ln(x)$ est strictement croissante, pour tout réel $x$ de $]0;8]$, $x\neq\dfrac72$: \[\begin{aligned} -x^2+7x + 9 &< \frac{85}4& \\ \implies \ln\left(-x^2 + 7x + 9\right) &< \ln\left(\frac{85}4\right)& \\ \implies 10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right) &<10\ln\left(\frac{85}4\right)& \\ \implies \mathscr A(x) &<10\ln\left(\frac{85}4\right). \end{aligned}\] Avec de plus $\mathscr A\left(\dfrac{85}4\right) = 10\ln\left(\dfrac{85}4\right)$.

La fonction $x\mapsto \mathscr A(x)$ admet donc un maximum égal à $10\ln\left(\dfrac{85}4\right)$ et atteint uniquement en $x=\dfrac72$.

Donc il existe bien une unique position de $M$ qui rend l'aire du rectangle maximale, cette position étant \[M\left(\dfrac{85}4;10\ln\left(\frac{85}4\right)\right).\]

C.1. La boucle doit continuer à calculer les valeurs de $\mathcal A(x)$ tant que $\mathcal A(x)$ reste supérieur à la valeur $k$. La ligne 8 doit donc être:

En fin de boucle, c'est la valeur de $x$ qui nous intéresse. Donc la ligne 10 doit être:

C.2. Une recherche à l'aide de la calculatrice permet de constater que \[\mathscr A(4,5) \approx 30,081 \quad\text{et}\quad \mathscr A(4,6) \approx 29,977.\] Donc l'instruction pluspetitevaleur(30) devrait retourner 4.6.

C.3. Nous savons que l'aire maximale est: \[10\ln\left(\dfrac{85}4\right)\approx 30,56.\] Donc si k=35, dans la fonction pluspetitevaleur, la condition A(x)>k sera fausse dès le premier appel à la boucle while.
La fonction renverra donc immédiatement la valeur initiale de x, à savoir 3,5.

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code : 3022