COR. 01
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1. $f$ est de la forme $\ln\circ u$ avec $u(x) = \mathrm e^{x/2} + 2$ donc $u'(x) = \dfrac12\mathrm e^{x/2}$.
Alors pour tout réel $x$: \[f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{\frac12\mathrm e^{x/2}}{\mathrm e^{x/2} + 2}.\] La fonction exponentielle étant strictement positive, pour tout réel $x$: \[\begin{aligned} &\mathrm e^{x/2} > 0 \implies \frac12\mathrm e^{x/2} > 0\;;& \\ &\mathrm e^{x/2} > 0 \implies \mathrm e^{x/2}+2 > 2 \implies \mathrm e^{x/2} + 2 >0.& \end{aligned}\] $f'(x)$ est donc le quotient de deux quantités strictement positive, donc strictement positive. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb R$.
2. \[\begin{aligned} f\left(2\ln(2)\right) &=\ln\left(\mathrm e^{\frac{2\ln(2)}2} + 2\right)& \\ &=\ln\left(\mathrm e^{\ln(2)} + 2\right)& \\ &=\ln(2 + 2)& \\ &=\ln(4)& \\ &=\ln\left(2^2\right)& \\ &=2\ln(2).& \end{aligned}\]
3. $u_1 = f(u_0)$ donc : \begin{multline*} u_1 = \ln\left(\mathrm e^{\frac{\ln(9)}2} + 2\right) =\ln\left(\mathrm e^{\frac{\ln(3^2)}2} + 2\right) =\ln\left(\mathrm e^{\frac{2\ln(3)}2} + 2\right) \\=\ln\left(\mathrm e^{\ln(3)} + 2\right) =\ln\left(3 + 2\right) =\ln(5). \end{multline*}
4.
Notons $\mathscr A(n)$ l'assertion «$2\ln(2) \le u_{n+1} \le u_n$».
On sait que $2\ln(2) = \ln(2^2) = \ln (4)$. La fonction $x\mapsto \ln(x)$ étant strictement croissante:
\[\begin{aligned}
&4 \le 5 \implies \ln(4) \le \ln(5) \implies 2\ln(2) \le u_1\;;&
\\
&5 \le 9 \implies \ln(5) \le \ln(9) \implies u_1 \le u_0.
\end{aligned}\]
Donc
\[2\ln(2) \le u_1 \le u_0.\]
$\mathcal A(0)$ est donc vraie.
Supposons que pour un entier naturel $n$ quelconque, $\mathcal A(n)$ soit vraie. On aura donc:
\[2\ln(2) \le u_{n+1} \le u_n.\]
Sachant que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$, cela implique que:
\[\begin{aligned}
&f(2\ln(2)) \le f(u_{n+1}) \le f(u_n)&
\\ \implies
&2\ln(2) \le u_{n+2} \le u_{n+1}.&
\end{aligned}\]
Donc si $\mathscr A(n)$ est vraie, $\mathscr A(n+1)$ l'est aussi.
Initialisée et héréditaire, $\mathscr A(n)$ est donc vraie par récurrence pour tout entier naturel $n$.
5. Nous avons montré à la question précédente que la suite $(u_n)$ est décroissante mais minorée par $2\ln(2)$. Elle est donc convergente vers un réel supérieur ou égal à $2\ln(2)$.
6.a.
$X^2-X-2$ est un polynôme de degré 2 qui admet donc au maximum deux racines.
Or $2$ et $-1$ sont deux racines de ce polynôme car
\[2^2 -2 - 2 = 0\ \text{et}\ (-1)^2 -(-1) - 2 = 1 +1 -2 = 0.\]
Il ne peut pas y en avoir d'autres, donc l'équation $X^2 - X - 2 = 0$ admet
$S = \big\{-1;2\big\}$ pour ensemble de solutions.
6.b. Posons $X = \mathrm e^{\frac x2}$. Alors \[\begin{aligned} \mathrm e^x - \mathrm e^{\frac x2} - 2 &= 0& \\ \iff \mathrm e^{2\times\frac x 2} - \mathrm e^{\frac x2} - 2 &= 0& \\ \iff \left(\mathrm e^{\frac x 2}\right)^2 - \mathrm e^{\frac x2} - 2 &=0& \\ \iff X^2 - X - 2 &=0.& \end{aligned}\] Donc:
6.c. L'équation $f(x) = x$ équivaut à: \[\begin{aligned} \ln\left(\mathrm e^{\frac x 2} + 2\right) &= x& \\ \iff \mathrm e^{\frac x2} + 2 &= \mathrm e^x& \\ \iff 0 &= \mathrm e^x - \mathrm e^{\frac x 2} - 2& \end{aligned}\] Elle est donc équivalente à l'équation résolue à la question précédente. Son unique solution est $2\ln(2)$.
6.d.
La fonction $f$ est telle que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1} = f(u_n)$. Elle est de plus continue. Donc la
limite $\ell$ de la suite $(u_n)$ vérifie la relation $f(\ell) = \ell$.
D'après la question précédente, on a donc nécessairement $\ell = 2\ln(2)$.
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