COR. 06

retour

1.a. $D_f = ]-1;1[$.
En effet $f$ est définie dès lors que $1-x^2$ est strictement positif.
Or $1-x^2$ admet $-1$ et $+1$ pour racines; son coefficient de degré 2 est $-1$, donc ce polynôme est négatif à l'extérieur de ses racines. On a donc \[1-x^2 > 0 \iff x\in]-1;1[.\]

1.b. $f\left(\dfrac 1 2\right) = \ln(3) - 2\ln(2)$.\\ En effet: \begin{align*} f\left(\frac 1 2\right) &=\ln\left(1-\left(\frac 1 2\right)^2\right)& \\ &=\ln\left(1 - \frac 1 4\right)& \\ &=\ln\left(\frac 3 4\right)& \\ &=\ln(3) - \ln(4)& \\ &=\ln(3) - \ln\left(2^2\right)& \\ &=\ln(3) - 2\ln(2).& \end{align*}

2.a. $S = \left]\mathrm e;+\infty\right[$.
En effet, posons $X=\ln(x)$. \begin{align*} \ln\left(\ln(x)\right) &> 0& \\ \iff \mathrm e^{\ln\left(\ln(x)\right)} &> \mathrm e^0& \\ \iff \ln(x) &> 1& \\ \iff \mathrm e^{\ln(x)} &>\mathrm e^1& \\ \iff x &> \mathrm e.& \end{align*}

2.b. $g'(x) = \dfrac 1 {x\ln(x)}$.
En effet, $g = \ln\circ u$ où $u(x) = \ln(x)$.
Donc $g'=\dfrac{u'}{u}$, ce qui donne pour tout réel strictement supérieur à 1: \[g'(x) = \frac{1/x}{\ln(x)} = \frac 1 x \times \frac 1 {\ln(x)} = \frac 1 {x\ln(x)}.\]

retour

code : 3020