COR. 04

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1. On a les équivalences: \[\begin{aligned} 0,999^n &< 10^{-11}& \\ \iff \ln\left(0,999^n\right) &< \ln\left(10^{-11}\right)& \\ \iff n \ln(0,999) &< -11\ln(10)& \end{aligned}\] L'étape suivante consiste à diviser les deux membres par $\ln(0,999)$. Or $0,999 < 1$ donc $\ln(0,999) < 0$. Cette division va donc changer le sens de l'inéquation. \[\begin{aligned} n \ln(0,999) &< -11\ln(10)& \\ \iff n &> -\frac{11\ln(10)}{\ln(0,999)}.& \end{aligned}\] Or d'après la calculatrice, $-\dfrac{11\ln(10)}{\ln(0,999)}\approx 25315,77$ et $n$ est entier, donc $n = 25316$.

2. On a les équivalences: \[\begin{aligned} 1,000001^n &> 10^9& \\ \iff \ln(1,000001^n) &>\ln(10^9)& \\ \iff n \underbrace{\ln(1,000001)}_{\text{positif}} &>9\ln(10)& \\ \iff n &> \frac{9\ln(10)}{\ln(1,000001)}.& \end{aligned}\] Sachant que $\dfrac{9\ln(10)}{\ln(1,000001)} \approx 20723276,2$, l'entier $n$ cherché est 20723277.

3. On a les équivalences: \[\begin{aligned} 5 - \left(\frac13\right)^n &\ge 4,9999& \\ \iff -\left(\frac13\right)^n &\ge 4,9999 - 1& \\ \iff -\left(\frac13\right)^n &\ge -0,0001& \\ \iff \left(\frac13\right)^n &\le 0,0001& \\ \iff \ln\left[\left(\frac13\right)^n\right] &\le \ln\left(10^{-4}\right)& \\ \iff n \ln\left(\frac13\right) &\le -4\ln(10)& \\ \iff -n\ln(3) &\le -4\ln(10)& \\ \iff n &\ge \frac{-4\ln(10)}{-\ln(3)}& \\ \iff n &\ge \frac{4\ln(10)}{\ln(3)}.& \end{aligned}\] Sachant que $\dfrac{4\ln(10)}{\ln(3)} \approx 8,38$ et que $n$ est entier, on a ici $n = 9$.

4. On a les équivalences: \[\begin{aligned} 3+\left(\frac45\right)^n &\le 3,0001& \\ \iff \left(\frac45\right)^n &\le 3,0001 - 3& \\ \iff \left(\frac45\right)^n &\le 0,0001& \\ \iff \ln\left[\left(\frac45\right)^n\right] &\le \ln(10^{-4}& \\ \iff n \underbrace{\ln\left(\frac45\right)}_{\text{négatif!}} &\le -4\ln(10)& \\ \iff n &\ge \frac{-4\ln(10)}{\ln\left(\frac45\right)}.& \end{aligned}\] Sachant que $n$ est entier et que $\dfrac{-4\ln(10)}{\ln\left(\frac45\right)} \approx 41,28$, l'entier cherché est $n = 42$.

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