COR. 01

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a. La fonction $x\mapsto \ln(x)$ étant définie sur $\mathbb R_+^*$, $x$ n'admet une image par la fonction proposée si et seulement si: \[x - 3 >0 \iff x > 3.\] Donc l'ensemble de définition est $D=]3;+\infty[$.

b. $x$ admet une image par la fonction $x\mapsto \ln(2-x)$ si et seulement si: \[2 - x > 0 \iff 2 > x.\] Donc son ensemble de définition est $]-\infty;2[$.

c. $x$ admet une image par $x\mapsto \dfrac 1{\ln(x)}$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont remplies:

• $x>0$ car on en calcule le logarithme népérien;
• $\ln(x) \neq 0 \iff x \neq 1$ car c'est un diviseur.

Donc l'ensemble de définition de cette fonction est $]0;1[\cup]1;+\infty[$.

d. On calcule le logarithme népérien de $x^2$, donc $x$ admet une image par la fonction $x\mapsto \ln(x^2)$ si et seulement si \[x^2 > 0 \iff x\neq 0.\] L'ensemble de définition de la fonction est donc $D=\mathbb R^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.

e. Pour tout réel $x$: \[x^2 \ge 0 \implies x^2 + 1 \ge 1 \implies x^2 + 1 > 0.\] Donc tout réel $x$ admet une image par $x\mapsto \ln(x^2+1)$. L'ensemble de définition de cette fonction est $D=\mathbb R$.

f. Le polynôme $x^2 - 1$ admet $-1$ et $1$ pour racines évidentes. Son coefficient de degré 2 est 1, il est positif, donc le polynôme est positif à l'extérieur de ses racines.
L'ensemble de définition de la fonction $x\mapsto \ln(x^2 - 1)$ est donc $]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[$.

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code : 2880