COR. 03/12

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1. $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ donc: \[\sin\left(\widehat{AB}\right) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac 6 8 = \dfrac 34\] \[\implies \widehat{ABC} = \arcsin\left(\dfrac34\right) \approx 49°.\] Le triangle $ADC$ est rectangle en $A$ donc: \[\tan\left(\widehat{ADC}\right) = \dfrac{AC}{AD} = \dfrac 6 4 = \dfrac 32\] \[\implies \widehat{ADC} = \arctan\left(\dfrac32\right) \approx 56°.\]

2. Puisque $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore. \[\begin{aligned} &BC^2 = AB^2 + AC^2& \\ \implies &AB^2 = BC^2 - AC^2 = 8^2 - 6 ^2 = 64 - 36 = 28& \\ \implies &AB = \sqrt{28} = \sqrt{4\times 7} = \sqrt 4 \times \sqrt 7 = 2\sqrt 7.& \end{aligned}\] L'aire du triangle $ABC$ est donc : \[\mathscr A = \frac{AB\times AC}2 = \frac{2\sqrt 7 \times 6}2 = 6\sqrt 7 \approx 15,9\:\text{cm²}.\]

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