COR. 03

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a. L'équation est définie sur $\mathbb R$. \[\begin{aligned} \mathrm e^{5x} &= \dfrac 3 2& \\ \iff 5x &= \ln\left(\dfrac32\right)& \\ \iff x &= \frac{\ln\left(\frac32\right)}5.& \end{aligned}\] Donc $S = \left\{\frac{\ln\left(\frac32\right)}5\right\}$.

b. Ici on doit avoir \[2x > 0 \implies x > 0\] pour que l'on puisse calculer le logarithme népérien.
Donc l'équation est définie sur $]0;+\infty[$. \[\begin{aligned} \ln(2x) &= 3& \\ \iff 2x &= \mathrm e^3& \\ \iff x &= \frac{\mathrm e^3}2.& \end{aligned}\] Puisque $\dfrac{\mathrm e^3}2 > 0$, $S = \left\{\dfrac{\mathrm e^3}2\right\}$.

c. Ici on doit avoir \[\frac12-x>0 \iff \frac12 > x\] pour que l'on puisse calculer le logarithme népérien.
Donc l'équation est définie sur $\left]-\infty;\dfrac12\right[$. \[\begin{aligned} \ln\left(\frac12 - x\right) &= -4& \\ \iff \frac12-x &= \mathrm e^{-4}& \\ \iff -x &= \mathrm e^{-4} - \frac12& \\ \iff x &= \frac 12 - \mathrm e^{-4}.& \end{aligned}\] Puisque $\mathrm e^{-4} > 0$, $\dfrac 12 - \mathrm e^{-4} < \dfrac 12$ donc $S = \left\{\dfrac12 - \mathrm e^{-4}\right\}$.

d. On doit avoir: \[2+5x > 0 \iff 5x > -2 \iff x > -\frac25\] pour que l'on puisse calculer le logarithme népérien.
L'équation est définie sur $\left]-\dfrac25;+\infty\right[$. \[\begin{aligned} \ln(2+5x) &= 0& \\ \iff 2+5x &= \mathrm e^0& \\ \iff 2+5x &= 1& \\ \iff 5x &= 1 - 2& \\ \iff x &=-\frac 1 5.& \end{aligned}\] $-\dfrac 15 > -\dfrac25$ donc $S = \left\{-\dfrac15\right\}$.

e. Ici $x$ doit être positif pour qu'on en calcule la racine carrée, puis $\sqrt{x}$ doit être strictement positif pour qu'on en calcule le logarithme népérien.
L'équation est donc définie sur $\mathbb R_+^* = ]0;+\infty[$. \[\begin{aligned} \ln\left(\sqrt x\right) &= -1& \\ \iff \frac 12\ln(x) &= -1& \\ \iff \ln(x) &= -2& \\ \iff x &= \mathrm e^{-2}.& \end{aligned}\] Comme toute exponentielle, $\mathrm e^{-2} > 0$, donc $S = \big\{\mathrm e^2\big\}$.

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