COR. 02
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a. On a les équivalences; \[\begin{aligned} \mathrm e^{2x} - \mathrm e^x &= 0& \\ \iff \mathrm e^{2x} &= \mathrm e^x& \\ \iff \ln(\mathrm e^{2x}) &= \ln(\mathrm e^x)& \\ \iff 2x &= x& \\ \iff 2x - x &= 0& \\ \iff x &= 0.& \end{aligned}\] Donc l'ensemble solution de cette équation est $S = \big\{0\big\}$.
b. Cette équation n'a de sens que si \[x+1 \ge \iff x \ge -1.\] On a les équivalences: \[\begin{aligned} \mathrm e^{x} &= \mathrm e^{\sqrt{x+1}}& \\ \iff \ln(\mathrm e^x) &= \ln(\mathrm e^{\sqrt{x+1}}& \\ \iff x &= \sqrt{x+1}.& \end{aligned}\] Puisque $x$ doit être égal à une racine carrée, il est clair qu'il doit être positif. On a donc: \[\begin{aligned} x&=\sqrt{x+1}& \\ \iff x^2&=x + 1& \\ \iff x^2 -x - 1 &= 0.& \end{aligned}\] Le polynôme $x^2-x-1$ admet pour discriminant: \[\Delta = (-1)^2 - 4\times 1 \times (-1) = 1 + 4 = 5.\] Puisqu'il est strictement positif, le polynôme admet \emph{sur $\mathbb R$ entier} les racines:
- $\dfrac{1 - \sqrt{5}}2$, qui est négative et ne peut donc pas être solution de notre équation.
- $\dfrac{1+\sqrt{5}}2$ qui est positive.
c. Cette équation est définie sur $\mathbb R$. \[\begin{aligned} \mathrm e^{x+7} &= \left(\mathrm e^{-2x+5}\right)^3& \\ \iff \mathrm e^{x+7} &= \mathrm e^{3(-2x+5)}& \\ \iff \mathrm e^{x+7} &=\mathrm e^{-6x + 15}& \\ \iff x + 7 &= -6x + 15& \\ \iff x + 6x &= 15 - 7& \\ \iff 7x &= 8& \\ \iff x=\frac 8 7.& \end{aligned}\] Donc $S = \left\{\dfrac87\right\}$.
d. Cette équation est définie sur $\mathbb R_+^*$: \[\begin{aligned} \mathrm e^{2\ln(x)} + 5\mathrm e^{\ln(x)} &= 6& \\ \iff \left(\mathrm e^{\ln(x)}\right) + 5\mathrm e^{\ln(x)} &= 6& \\ \iff x^2 + 5x &= 6& \\ \iff x^2 + 5x - 6 &= 0.& \end{aligned}\] Le polynôme $x^2+5x-6$ admet $1$ pour racine évidente. Le produit de ses racines est \[\frac c a = \frac{-6}1 = -6\] Donc sa deuxième racine est $-6$. Cependant, l'équation de départ n'est définie que si $x > 0$. Donc $S = \big\{1\big\}$.
e. L'équation est définie sur $]2;+\infty[$. \[\begin{aligned} \ln(x-2) &= 11& \\ \iff x - 2 &= \mathrm e^{11}& \\ \iff x &= \mathrm e^{11} + 2.& \end{aligned}\] Donc $S = \big\{\mathrm e^{11}+2\big\}$.
f. L'équation est définie pour $x$ tel que: \[3 - 2x > 0 \iff 3 > 2x \iff \frac 32 > x.\] Donc l'équation est définie sur $\left]-\infty;\dfrac32\right[$. \par Alors: \[\begin{aligned} \ln(3-2x) &= -11& \\ \iff 3 - 2x &= \mathrm e^{-11}& \\ \iff -2x &= \mathrm e^{-11} - 3& \\ \iff x &= \frac{\mathrm e^{-11} - 3}{-2}& \\ \iff x&=\frac{3 - \mathrm e^{-11}}2.& \end{aligned}\] $\dfrac{3 - \mathrm e^{-11}}2<\dfrac32$ donc $S = \left\{\dfrac{3 - \mathrm e^{-11}}2\right\}$.
g. Pour déterminer l'ensemble de définition de l'équation, étudions le signe de $\dfrac{x+1}{2x+1}$.
Donc l'équation est définie sur $D = ]-\infty;-1[\cup\left]-\dfrac12;+\infty\right[$.
Alors: \[\begin{aligned} \ln\dfrac{x+1}{2x+1} &= \ln\dfrac13& \\ \iff \dfrac{x+1}{2x+1}&=\dfrac13& \\ \iff 3(x+1) &= 1(2x+1)& \\ \iff 3x + 3 &= 2x + 1& \\ \iff 3x - 2x &= 1 - 3& \\ \iff x &= -2.& \end{aligned}\] $-2\in D$ donc $S = \big\{-2\big\}$.
h. On doit avoir à la fois: \[\begin{aligned} 3x - 1 &> 0& \implies 3x &>1& \implies x &>\dfrac 13.& \\ x + 2 &> 0& \implies x&>-2.& \end{aligned}\] Donc l'équation est définie sur $\left]\dfrac13;+\infty\right[$. \par Alors: \[\begin{aligned} \ln(3x-1) - \ln(x+2) &= -\ln(2)& \\ \iff \ln\dfrac{3x-1}{x+2}&=\ln\dfrac12& \\ \iff \dfrac{3x+1}{x+2}&=\dfrac 12& \\ \iff 2(3x+1) &= 1(x+2)& \\ \iff 6x + 2 &= x + 2& \\ \iff 6x - x &= 2 - 2& \\ \iff 5x &= 0& \\ \iff x &= 0.& \end{aligned}\] Or $0\notin D$ donc $S = \emptyset$.
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