EX. 03

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1. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}-2-0\\2-1\\-1+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}.\] La droite $(AB)$ est donc dirigée par le vecteur $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}$ et passe par le point $A(0;1;-1)$. Elle admet donc pour représentation paramétrique: \[\begin{cases}x = -2k+0\\y = 1k + 1\\z = 0k - 1\end{cases}, k\in\mathbb R.\]

2.a. D'après sa représentation paramétrique, $\mathscr D$ admet pour vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
Or les coordonnées de $\vec u$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas proportionnelles, donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Les droites $(AB)$ et $\mathscr D$ ne sont donc pas parallèles.

2.b. Les droites $(AB)$ et $\mathscr D$ seront sécantes si et seulement si il existe un couple $(t,k)\in\mathbb R^2$ tel que: \[\begin{cases}-2 + t = -2k\qquad(1)\\1+t = k + 1\qquad(2)\\-1- t -1\qquad(3)\end{cases}\] Or l'équation (3) nous impose: \[-1+t = -1 \implies t = 0.\] Donc, l'équation (1) impose alors: \[-2 + 0 = -2k \implies k = 1.\] Mais alors \[1+t = 1 + 0 = 1 \quad\text{et}\quad k + 1= 1 +1 = 2.\] L'équation (2) n'est donc pas vérifiée.
Le couple $(t,k)$ cherché n'existe donc pas : les droites $(AB)$ et $\mathscr D$ ne sont donc pas sécantes.

2.c. Ni parallèles ni sécantes, les droites $(AB)$ et $\mathcal D$ sont donc non coplanaires.

3. D'après son équation cartésienne, le plan $\mathscr P$ admet pour vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
$\vec n = \vec u$, donc ce vecteur dirige $\mathscr D$. $\mathscr P$ est bien orthogonal à $\mathscr D$.
De plus: \[x_M + y_M - z_M - 3u = -2+u + 1 + u +1 + u - 3u = 0.\] Les coordonnées de $M$ vérifiant l'équation cartésienne de $\mathscr P$, le plan $\mathscr P$ passe bien par $M$.

4. D'une part: \[x_N + y_N - z_N - 3u = -4+6u + 3 - 3u + 1 - 3u = 0.\] Donc $N$ appartient bien au plan $\mathscr P$.
D'autre part: \[\begin{aligned} &\begin{cases} x_N = -2k + T\\y_N = k+1\\z_N = -1\end{cases}& \\ \iff &\begin{cases}-4+6u = -2k\\3-3u = k+1\\-1 =-1\end{cases}& \\ \iff &\begin{cases}k=2-3u\\k=2-3u\end{cases}& \\ \iff &k = 2-3u.& \end{aligned}\] Il existe bien une valeur du paramètre $k$ pour laquelle la représentation paramétrique de $(AB)$ donne les coordonnées du point $N$. Il est donc bien aussi sur cette droite.

5.a. La droite $(MN)$ admet pour vecteur directeur $\overrightarrow{MN}$ de coordonnées: \[\begin{pmatrix}(-4+6u) - (-2+u)\\(3-3u) - (1+u) \\ -1 - (-1-u)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2+5u \\2 - 4u \\u \end{pmatrix}.\] Or: \[\begin{aligned} \vec u \cdot \overrightarrow{MN} &= 1\times (-2+5u) + 1 \times (2-4u) -1 \times u& \\ &= -2 + 5u +2 - 4u - u& \\ &= 0.& \end{aligned}\] Donc $(MN)$ et $\mathscr D$ sont bien orthogonales.

5.b. Les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont sécantes en $N$. Pour que $(MN)$ soit perpendiculaire à $(AB)$, il faut et suffit que: \[\begin{aligned} \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AB} &= 0& \\ \iff (-2+5u)(-2) + (2-4u)\times 1 + u \times 0 &= 0& \\ \iff 4-10u + 2 - 4u &= 0& \\ \iff -14u &= -6& \\ \iff u &= \frac 6{14} = \frac 37.& \end{aligned}\] C'est donc l'unique valeur de $u$ pour laquelle ces deux droites sont perpendiculaires.

6.a. \[\begin{aligned} MN^2 &= (-2+5u)^2 + (2-4u)^2 + u^2& \\ &= 4 - 20u + 25u^2 + 4 - 16u + 16u^2 + u^2& \\ &=42u^2 - 36u.& \end{aligned}\]

6.b. La distance $MN$ étant positive, elle est minimale quand $MN^2$ l'est aussi.
La fonction polynôme $f:x\mapsto 42x^2 - 36x$ est dérivable sur $\mathbb R$ et: \[f'(x) = 84x - 36.\] Cette dérivée est une fonction affine s'annulant pour \[x = \frac{36}{84} = \frac37.\] Son coefficient directeur est 84, positif, donc elle est négative à gauche de $\dfrac37$ et positive à droite de $\dfrac37$.
$f$, décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac37\right]$ puis croissante sur $\left[\dfrac37;+\infty\right[$ admet donc son minimum en $x= \dfrac{3}{7}$.
C'est donc aussi la valeur de $u$ pour laquelle $MN^2$ et donc $MN$ est minimale.

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