COR. 03

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a. $f=u\times v$ avec \[\begin{aligned}&u(x)=x &&\implies&&u'(x) &= 1&\\ &v(x)=\ln(x)&&\implies&&v'(x) = \frac1x& \end{aligned}\] $f'=u'v+uv'$ donc \[f'(x) = 1\times \ln(x) + x\times \frac 1 x = \ln(x) + 1.\]

b. $x\mapsto \left(\ln(x)\right)^2$ est de la forme $u^2$ où $u$ est la fonction dérivable sur $\mathbb R_+^*$ $u:x\mapsto \ln(x)$.
Cette fonction est donc aussi dérivable sur $\mathbb R_+^*$, de fonction dérivée $2u'u^1$. Sa fonction dérivée est donc $x\mapsto 2\times \dfrac 1 x \times \ln(x)$.
La fonction $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R_+^*$ donc dérivable sur cet intervalle: \[f'(x) = \frac2x\ln(x) + \frac 1x + 0 = \frac{2\ln(x) + 1}x.\]

c. $f=\dfrac uv$ où $u:x\mapsto \ln(x)$ est dérivable sur $\mathbb R_+^*$ et $v:x\mapsto x$ est dérivable et non nulle sur $\mathbb R_+^*$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb R_+^*$ et $f'(x) = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. \[\begin{aligned} u(x) &= \ln(x)&&\implies&&u'(x)&=\frac1x& \\ v(x)&=x&&\implies&&v'(x)=1& \end{aligned}\] Donc: \[f'(x) = \frac{\frac1x \times x - \ln(x) \times 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}.\]

d. $f=\dfrac uv$ avec: \[\begin{aligned} u(x) &= 1+\ln(x) &&\implies &&u'(x) &= \frac 1 x& \\ v(x)&=1 -\ln(x) &&\implies &&v'(x)&=-\frac 1x& \end{aligned}\] Donc $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit: \[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{\frac1x\left(1-\ln(x)\right) - \left(1+\ln(x)\right)\times\left(-\frac 1x\right)}{\left(1-\ln(x)\right)^2}& \\ &=\frac{\frac1x\left(1-\ln(x) + 1 + \ln(x)\right)}{\left(1-\ln(x)\right)^2}& \\ &=\frac2{x\left(1-\ln(x)\right)^2}.& \end{aligned}\]

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