exercice SUP-07/05

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Dans cet exercice, on munit le plan d'un repère orthonormé.

On a représenté ci-dessous la courbe d'équation: \[y = \dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x} - 2\right).\] Cette courbe est appelée une «chaînette».

On s'intéresse ici aux «arcs de chaînette» délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.

On définit la «largeur» et la «hauteur» de l'arc de chaînette délimité par les points $M$ et $M'$ comme indiqué sur le graphique.

figure

Le but de l'exercice est d'étudier les positions possibles sur la courbe du point $M$ d'abscisse $x$ strictement positive afin que la largeur de l'arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l'équation \[(E)\qquad \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{- x} - 4x - 2 = 0.\]

Corrigé
Puisque la hauteur est $\frac 1 2(\mathrm e^{x} + \mathrm e^{-x} - 2)$ et que la largeur de l'arche est $2x$, l'égalité de ces deux valeurs se traduit par \[\begin{aligned} &\frac 1 2 (\mathrm e^x + \mathrm e^{-x} - 2) = 2x& \\ \iff &\mathrm e^x + \mathrm e^{-x} - 2 = 4x& \\ \iff &\mathrm e^x + \mathrm e^{-x} - 4x - 2 = 0.& \end{aligned}\]

2. On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par: \[f(x) = \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x} - 4x - 2.\]

a. Vérifier que pour tout $x > 0$, \[f(x) = x \left(\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}- 4\right) + \mathrm{e}^{-x} - 2.\]

Corrigé
Pour tout $x\in]0;+\infty[$: \[\begin{aligned} x\left(\frac{\mathrm e^x} x - 4\right) + \mathrm e^{-x} - 2 &=\frac{x\mathrm e^x} x - 4x + \mathrm e^{-x} - 2& \\ &=\mathrm e^x + \mathrm e^{-x} - 4x - 2& \\ &= f(x).& \end{aligned}\]

b. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

Corrigé
D'après le cours, \[\lim_{x\to+\infty} \frac{\mathrm e^x} x = +\infty \implies \lim_{x\to +\infty} \frac{\mathrm e^x} x - 4 = +\infty.\] Puisque \[\lim_{x\to+\infty} x = +\infty\] On a, par produit de limites, \[\lim_{x\to+\infty} x\left(\frac{\mathrm e^x} x - 4\right) = +\infty.\] D'autre part: \[\lim_{x\to+\infty} -x = -\infty \implies \lim_{x\to +\infty} \mathrm e^{-x} = 0.\] Donc finalement, en sommant ces limites: \[\lim_{x\to+\infty} x\left(\frac{\mathrm e^x}x - 4\right) + \mathrm e^{-x} -2 = +\infty.\]

3.a. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$, où $x$ appartient à l'intervalle $[0;+\infty[$.

Corrigé
Puisque, pour tout réel $x\ge 0$, $f(x) = \mathrm e^x + \mathrm e^{-x} - 4x - 2$: \[f'(x) = \mathrm e^x - \mathrm e^{-x} - 4.\]

b. Montrer que l'équation $f'(x) = 0$ équivaut à l'équation: \[\left(\mathrm{e}^x\right)^2 - 4\mathrm{e}^x - 1 = 0.\]

Corrigé
Sachant que pour tout réel $x$, $\mathrm e^x \neq 0$: \[\begin{aligned} \mathrm e^x - \mathrm e^{-x} - 4 &= 0&\\ \iff \mathrm e^{x}(\mathrm e^x - \mathrm e^{-x} - 4) &= \mathrm e^x \times 0&\\ \iff \left(\mathrm e^x\right)^2 - \mathrm e^{x - x} - 4\mathrm e^x &= 0&\\ \iff \left(\mathrm e^x\right)^2 - \mathrm e^0 - 4\mathrm e^{x} &=0\\ \iff \left(\mathrm e^x\right)^2 - 4\mathrm e^x - 1 &= 0. \end{aligned}\]

c. En posant $X = \mathrm{e}^x$, montrer que l'équation $f'(x) = 0$ admet pour unique solution réelle le nombre \[\ln \left(2 + \sqrt{5}\right).\]

Corrigé
En posant $X=\mathrm e^x$, l'équation devient: \[X^2 - 4X - 1 = 0.\] Son discriminant est \[\begin{aligned} \Delta &= (-4)^2 - 4\times 1 \times (-1) = 20& \\ \implies \sqrt{\Delta} &= \sqrt{20} = \sqrt{4\times 5} = 2\sqrt 5.& \end{aligned}\] Puisque $\Delta > 0$, cette équation a deux solutions possibles:
  • Soit \[X = \frac{4 - 2\sqrt 5} 2 = 2 - \sqrt 5.\] Mais alors $\mathrm e^x = 2 - \sqrt 5$, ce qui est impossible car $2 - \sqrt 5 < 0$.
  • Soit \[X = \frac{4 + 2\sqrt{5}} 2 = 2 + \sqrt{5}.\] Alors \[\mathrm e^x = 2 + \sqrt 5 \iff x = \ln\left(2 + \sqrt 5\right).\]
L'unique solution de l'équation est donc bien $\ln\left(2 +\sqrt 5\right)$.

4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée $f'$ de $f$:

TdV

a. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

Corrigé
Tableau de variations de $f$:
TdV
Avec: \[f(0) = \mathrm e^0 + \mathrm e^{-0} - 4\times 0 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0.\] Et: \[ y_0 = f\left(\ln\left(2 + \sqrt 5\right)\right) \approx -3,3024. \]

b. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution strictement positive que l'on notera $\alpha$.

Corrigé
D'après le tableau de variation, $f(0) = 0$ mais pour tout $x$ inférieur ou égal à $\ln\left(2+\sqrt 5\right)$, $f(x) < 0$.
Par contre, sur l'intervalle $\left[\ln\left(2+\sqrt 5\right);+\infty\right[$:
  • $f$, dérivable, est continue;
  • $f\left(\ln\left(2+\sqrt 5\right)\right) < 0$ mais $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$;
  • $f$ est strictement monotone (croissante).
Donc, sur cet intervalle, il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation $f(x) = 0$.
C'est l'unique solution strictement positive.

5. On considère le programme Python suivant:

from math import exp a = 2 b = 3 while b-a > 0.1: m=(a+b)/2 if exp(m)+exp(-m) - 4*m - 2 > 0: b = m else : a = m print(a,b)

a. Que contiennent les variables a et b à la fin de l'exécution du programme?
On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-dessous avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme.

m2,5..................
a2.....................
b3.....................
b - a1.....................

Corrigé
Tableau complété:

m2,52,252,3752,4375
a222,252,3752,4375
b32,52,52,52,5
b - a10,50,250,1250,0625

Donc à la fin du programme, $a = 2,4375$ et $b = 2,5$.

b. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d'algorithme à la question précédente?

Corrigé
À chaque étape de la boucle "while", on prend le milieu $m$ de l'intervalle $[a;b]$ et on considère le signe de $f(m)$.
Si $f(m)$ est positif (donc si $\alpha < m$), $b$ devient $m$; sinon (quand $\alpha \ge m$) $a$ devient $m$.
Donc à chaque passage dans la boucle, $\alpha$ reste dans $[a,b]$ et l'amplitude de $[a,b]$ est divisée par 2.
La boucle s'arrête quand l'amplitude est devenue inférieure ou égale à 0,1.
Le programme nous donne donc un intervalle d'amplitude inférieure ou égale à 0,1 contenant $\alpha$.
On en déduire donc que $\alpha \in ]2,4375\ ;\ 2,5[$.
L'algorithme utilisé ici porte le nom d'algorithme de dichotomie.
Photo de la Gateway Arch
6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l'allure ci-dessous.

schéma

La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement positive de l'équation: \[\left(E'\right)\qquad \mathrm{e}^{\frac{t}{39}} + \mathrm{e}^{-\frac{t}{39}} - 4\frac{t}{39} - 2 = 0.\] Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.

Corrigé
Si l'on pose $X = \frac t {39}$, l'équation (E') devient: \[\mathrm e^X + \mathrm e^{-X} - 4X - 2 = 0\] dont on sait que l'unique solution strictement positive vérifie $X\in]2,4375\ ;\ 2,5[$.
Alors: \[\begin{aligned} 2,4375 &< X < 2,5&\\ \iff 2,4375 &< \frac t {39} < 2,5&\\ \iff 39 \times 2,4375 &< t < 39 \times 2,5&\\ \iff 95,0625 &< t < 97,5&\\ \iff 2 \times 95,0525 &< 2t < 97,5 \times 2&\\ \iff 190,125 &< 2t < 195.&\\ \end{aligned} \] La hauteur (ou largeur) du Gateway Arch devrait être entre 190 et 195 mètres
(c'est 192 m selon Wikipedia).

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