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Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
1.
Affirmation: La fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = \mathrm{e}^x - x$ est convexe.
Corrigé
Affirmation vraie.
$f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et pour tout réel $x$:
\[f'(x) = \mathrm e^x - 1.\]
$f'$ est dérivable sur $\mathbb R$ et pour tout réel $x$:
\[f''(x) = \mathrm e^x.\]
Puisqu'une exponentielle est strictement positive, $f''$ est strictement positive donc $f$ est convexe.
2.
Affirmation: L'équation $\left(2\mathrm{e}^x - 6\right)\left(\mathrm{e}^x + 2\right) = 0$
admet $\ln(3)$ comme unique solution dans $\mathbb R$.
Corrigé
Affirmation vraie.
L'équation
\[(2\mathrm e^x - 6)(\mathrm e^x + 2) = 0\]
est de la forme "produit nul". Donc:
•Soit
\[2\mathrm e^x - 6 = 0 \iff \mathrm e^x = \dfrac 62 \iff x = \ln(3).\]
•soit
\[\mathrm e^x + 2 = 0 \iff \mathrm e^x = -2.\]
Cette équation est sans solution puisque l'exponentielle est strictement positive.
Donc l'unique solution de cette équation est bien $\ln(3)$.
3.
Affirmation:
\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\mathrm{e}^{2x} - 1}{\mathrm{e}^x - x} = 0.\]
Corrigé
Affirmation fausse.
Pour tout réel $x$:
\[\frac{\mathrm e^{2x}-1}{\mathrm e^x - x}
=\frac{\mathrm e^{2x}\left(1 - \frac 1{\mathrm e^{2x}}\right)}{\mathrm e^x\left(1 - \frac{x}{\mathrm e^x}\right)}
=\frac{\mathrm e^{2x}}{\mathrm e^x}\cdot \frac{1-\frac 1{\mathrm e^{2x}}}{1-\frac{x}{\mathrm e^x}}
=\mathrm e^x \cdot \frac{1-\frac 1{\mathrm e^{2x}}}{1-\frac{x}{\mathrm e^x}}.\]
Or:
\[\lim_{x\to+\infty} \mathrm e^{2x} = +\infty \implies \lim_{x\to+\infty}\frac 1{\mathrm e^{2x}} = 0.\]
Donc:
\[\lim_{x\to+\infty}1-\frac 1{\mathrm e^{2x}} = 1.\]
D'autre part, on sait que:
\[\lim_{x\to+\infty} \frac{\mathrm e^x}x = +\infty \implies \lim_{x\to+\infty} \frac x{\mathrm e^x} = 0.\]
Donc:
\[\lim_{x\to+\infty} 1 - \frac x {\mathrm e^x} = 1.\]
Par quotient de limites:
\[\lim_{x\to+\infty} \frac{1-\frac 1{\mathrm e^{2x}}}{1-\frac{x}{\mathrm e^x}} = 1.\]
Sachant que:
\[\lim_{x\to+\infty} \mathrm e^x = +\infty\]
on obtient, par produit de limites:
\[\lim_{x\to+\infty} \mathrm e^x\cdot\frac{1-\frac 1{\mathrm e^{2x}}}{1-\frac{x}{\mathrm e^x}} = +\infty.\]
4.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par
\[f(x) = (6x + 5)\mathrm{e}^{3x}\]
et $F$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par:
\[F(x) = (2x + 1)\mathrm{e}^{3x} + 4$.\]
Affirmation: $F$ est la primitive de $f$ sur $\mathbb R$ qui prend la valeur 5 quand $x = 0$.
Corrigé
Affirmation vraie.
$F=uv+4$ où $u$ et $v$ sont les fonction dérivables sur $\mathbb R$ telles que:
\[u(x) = 2x + 1;\quad u'(x) = 2;\quad v(x) = \mathrm e^{3x};\quad v'(x) = 3\mathrm e^{3x}.\]
La fonction $F$ est donc dérivable sur $\mathbb R$ avec $F'=u'v+uv'$, donc pour tout réel $x$:
\begin{align*}
F'(x) &= 2\mathrm e^{3x} + (2x+1)\cdot3\mathrm e^{3x}&
\\
&=2\mathrm e^{3x} + 6x\mathrm e^{3x}+3\mathrm e^{3x}&
\\
&=6x\mathrm e^{3x} + 5\mathrm e^{3x}&
\\
&=(6x+5)\mathrm e^{3x}&
\\
&=f(x).&
\end{align*}
Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb R$.
De plus, on a bien
\[F(0) = (2\times 0 + 1)\mathrm e^{3\times 0} + 4 = 1\mathrm e^0 + 4 = 1\times 1 = 4 = 5.\]
5.
On considère la fonction mystere
définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.
On rappelle que len(L) représente la longueur de la liste L.
def mystere(L)} :
S = 0
for i in range(len(L)) :
S = S + L[i]
return S /len(L)
Affirmation: L'exécution de
mystere([1, 9, 9, 5, 0, 3, 6, 12, 0, 5]) renvoie 50.
Corrigé
Affirmation fausse.
Au départ, la variable S vaut 0. La boucle for prend ensuite chaque élément de la
liste L et l'ajoute à S.
Donc à la fin de la boucle, S contient la somme des éléments de la liste L.
On retourne alors S divisé par le nombre d'élément de L, donc la moyenne des éléments de L.
Or
\[\frac{1+9+9+5+0+3+6+12+5}{10} = 5.\]
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