Affirmation fausse. Il est vrai que toute suite décroissante et minorée par $0$ converge, mais pas nécessairement vers 0.
Pour s'en convaincre, on peut proposer comme contre-exemple la suite définie sur $\mathbb N^*$ par \[u_n = 1+\frac 1n.\] Plus $n$ est grand, plus $\frac 1n$ est petit, donc $(u_n)$ est décroissante, et puisque $u_n$ est la somme de deux nombres strictement positif, $u_n$ est strictement positif. Donc $(u_n)$ est minorée par $0$.
Cependant : \[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 1n = 0 \implies \lim_{n\to +\infty} 1 + \frac 1 n = 1.\]

Affirmation vraie. Remarquons d'abord que \[\frac{-9^n+3^n}{7^n} = \frac{-9^n}{7^n} + \frac{3^n}{7^n} = -\left(\frac 9 7\right)^n + \left(\frac 3 7\right)^n.\] Or : \[\begin{aligned} \frac 9 7 > 1 \implies &\lim_{n\to+\infty} \left(\frac97\right)^n = +\infty& \\ &\implies \lim_{n\to+\infty} -\left(\frac97\right)^n = -\infty.& \end{aligned}\] et : \[ \frac 37 \in ]-1;1[ \implies \lim_{n\to+\infty} \left(\frac37\right)^n = 0. \] En sommant ces deux limites, on obtient que : \[\lim_{n\to+\infty} -\left(\frac97\right)^n + \left(\frac37\right)^n = -\infty.\] La suite $(u_n)$ est donc majorée par une suite tendant vers $-\infty$. Elle tend donc elle-même vers cette limite.

Affirmation vraie. Lors de l'appel de terme(4), la valeur de n est 4. Donc la boucle "for i in range(n)" tournera quatre fois, pour les valeurs de i allant de 0 à 3.
Au départ u vaut 1.
Lors du premier tour de boucle (quand i = 0), u prend la valeur 1+0, donc u vaut encore 1.
Lors du deuxième tour de boucle (quand i = 1), u prend la valeur 1+1, donc u prend la valeur 2.
Lors du troisième tour de boucle (quand i =2), u prend la valeur 2+2, donc u prend la valeur 4.
Lors du quatrième tour de boucle (quand i =3), u prend la valeur 4+3, donc u prend la valeur 7.
On sort alors de la boucle et on retourne u, donc on retourne bien la valeur 7.

Affirmation fausse. Le prix A vaut $15\times 1000 = 15000$ €.
Le prix B vaut \[\begin{aligned} 1+2+2^2 + 2^3 + \cdot + 2^{14} &= \frac{1-2^{15}}{1-2}& \\ &= \frac{1-32768}{-1}& \\ &= 32767\:\text{€}& \end{aligned}\] Le prix B est plus de deux fois supérieur au prix A !

Affirmation vraie.
➔Premier argument. Sur $[1;+\infty[$ la fonction $\ln$ est positive et $n\ge 1$. Donc l'intégrale proposée représente l'aire sous la courbe de $y=\ln(x)$, entre les droites d'équation $x=1$ et $x=n$.
Donc plus $n$ est grand, plus $v_n$ est grande. La suite $(v_n)$ est croissante.
➔Deuxième argument. À l'aide de la relation de Chasles, on peut écrire que pour tout entier naturel $n$: \[\begin{aligned} v_{n+1} - v_n &= \int_1^{n+1} \ln(x)\:\mathrm dx - \int_1^n \ln(x)\:\mathrm dx& \\ &=\int_1^{n} \ln(x)\:\mathrm dx + \int_n^{n+1}\ln(x)\:\mathrm dx - \int_1^n\ln(x)\:\mathrm dx& \\ &=\int_n^{n+1}\ln(x)\:\mathrm dx.& \end{aligned}\] Puisque $n$ et $n+1$ appartiennent à $[1;+\infty[$ et que la fonction $\ln$ est positive sur $[1;+\infty[$, alors \[\int_n^{n+1}\ln(x)\:\mathrm dx \ge 0 \implies v_{n+1} - v_n \ge 0.\] Ce qui prouve que $(v_n)$ est une suite croissante.
➔Troisième argument. La fonction $F$ définie sur $[1;+\infty[$ par \[F(x) = \int_1^n \ln(x)\mathrm dx\] est la primitive de $x\mapsto \ln(x)$ sur $[1;+\infty[$ qui s'annule en 1.
Or $\ln$ est positive sur $[1;+\infty[$, donc $F$ est croissante. Donc pour tout entier naturel $n>0$: \[F(n+1) \ge F(n) \implies v_{n+1} \ge v_n.\] Ce qui montre aussi la croissance de la suite $(v_n)$.