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$h$ est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par
\[h(x) = \left(\ln(x)\right)^2 - \ln(x).\]
1.
Justifier que pour tout $x\in]0;+\infty[$,
\[h'(x) = \frac{2\ln(x)-1}{x}.\]
Corrigé
$h'(x) = 2 \cdot \dfrac 1 x \cdot \ln(x) - \dfrac 1 x
= \dfrac{2\ln(x) - 1} x$.
2.
Expliquer pourquoi $h'(x)$ est du signe de $2\ln(x) - 1$.
Corrigé
Ici $x>0$, donc le quotient $\frac{2\ln(x)-1}x$ est du signe de son numérateur.
3.
Étudier le sens de variation de $h$.
Corrigé
On a les équivalences
\[\begin{aligned}
2\ln(x) -1 &> 0&
\\ \iff
\ln(x) &> \frac 1 2&
\\ \iff
x &> \mathrm e^{-1/2}&
\\
\iff x &> \sqrt{\mathrm e}.&
\end{aligned}\]
Et donc aussi:
\[2\ln(x) - 1 = 0 \iff x = \sqrt{\mathrm e}.\]
Donc sur $\left]0;\sqrt{\mathrm e}\right]$, $h'$ est négative et donc $h$ est décroissante
puis sur $\left[\sqrt{\mathrm e};+\infty\right[$, $h'$ est positive et donc $h$ est croissante.
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