$f$ est la fonction définie sur $\mathbb R_+^*$ par
\[f(x) = \ln(x) + x.\]
Montrer que $f$ est croissante sur $\mathbb R_+^*$.
Corrigé
$f$ est dérivable sur $\mathbb R_+^*$ et pour tout $x\in\mathbb R_+^*$:
\[f'(x) = \frac 1 x + 1.\]
Or, sachant que $x\in\mathbb R_+^*$:
\[x > 0 \implies \frac 1 x > 0 \implies \frac 1 x + x > 0.\]
La fonction $f'$ est strictement positive sur $\mathbb R_+^*$, donc $f$ est
strictement croissante sur $\mathbb R_+^*$.