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Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points
$A(5\;;\;-1\;;\;-9)$,
$B(7\;;\;3\;;\;-7)$,
$C(9\;;\;13\;;\;19)$,
$D(11\;;\;15\;;\;13)$
et
$E(15\;;\;19\;;\;1)$.
1.
Montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.
Corrigé
\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}7-5\\3+1\\-7+9\end{pmatrix}
\iff
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\4\\2\end{pmatrix}\]
et
\[\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}11-9\\15-13\\13-19\end{pmatrix}
\iff
\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}2\\2\\-6\end{pmatrix}\]
Donc :
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = 2\times 2 + 4\times 2 - 2\times 6 = 0.\]
Ces vecteurs sont orthogonaux, donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ qu'ils dirigent le sont aussi.
2.a.
Montrer que $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
Corrigé
Coordonnées de $\overrightarrow{AE}$:
\[\begin{pmatrix}15-5\\19+1\\1+9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\20\\10\end{pmatrix}.\]
Au regard des coordonnées, il est clair que $\overrightarrow{AE}= 5\overrightarrow{AB}$. Ces vecteurs sont donc colinéaires.
2.b.
Que peut-on en déduire pour le point $E$?
Corrigé
Puisque $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires,
le point $E$ est sur la droite $(AB)$.
3.a.
Montrer que $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Corrigé
Coordonnées de $\overrightarrow{CE}$:
\[\begin{pmatrix}15-9\\9-13\\1-19\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\6\\-18\end{pmatrix}.\]
Au regard des coordonnées, il est clair que $\overrightarrow{CE} = -3\overrightarrow{CD}$, donc ces deux vecteurs sont
colinéaires.
3.b.
Que peut-on en déduire pour le point $E$?
Corrigé
Puisque $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires,
le point $E$ est sur la droite $(CD)$.
4.
Que peut-on en déduire pour les droites $(AB)$ et $(CD)$?
Corrigé
Puisqu'elles sont orthogonales, les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sauraient être parallèles. Elles ont cependant le point $E$ en
commun. Elles sont donc sécantes (perpendiculaires) au point $E$.
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