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Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on donne les points
\[A(7\;;\;-2\;;\;-5),\quad B(5\;;\;4\;;\;4)\quad\text{et}\quad C(5\;;\;1\;;\;1).\]
1.
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Corrigé
Calculons les coordonnées des vecteurs.
\[\begin{aligned}
\overrightarrow{AB}:&\quad \begin{pmatrix}5 - 7\\4 -(-2)\\4-(-5)\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}-2\\6\\9\end{pmatrix}\;;&
\\
\overrightarrow{AC}:&\quad
\begin{pmatrix}5-7\\1-(-2)\\1-(-5)\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}&
\end{aligned}\]
Alors :
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-2\times (-2) + 6\times 3 + 9\times 6 = 76.\]
2.
Calculer les longueurs $AB$ et $AC$.
Corrigé
\begin{align*}
AB &= \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 9^2} = \sqrt{4+36+81} = \sqrt{121} = 11\;;&
\\
AC &= \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7.&
\end{align*}
3.
En déduire une valeur approchée à $0,01$ près de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés.
Corrigé
On a donc :
\begin{align*}
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= 76&
\\ \iff
AB \times AC \times \cos\widehat{BAC} &= 76&
\\ \iff
11\times 7 \times \cos\widehat{BAC} &= 76&
\\ \iff
\cos\widehat{BAC} &= \frac{76}{77}.&
\end{align*}
Donc
\[\widehat{BAC} = \arccos\left(\frac{76}{77}\right) \approx 9,24°.\]
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