AP06a/04

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Dans chacun des cas suivants, $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

1. On lance vingt fois de suite un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Pour chaque lancer, on associe au succès l'obtention du 6.

Corrigé

Le dé étant équilibré, à chaque lancer, la probabilité d'obtenir un six est

\frac{1}{6}

.
Le dé n'a pas de mémoire. Les lancers successifs sont donc indépendants les uns des autres.

X

suit donc la loi binomiale de paramètres

n = 20

p = \frac{1}{6}

2. On lance cinq fois de suite une pièce équilibrée. Pour chaque lancer, on associe au succès l'obtention de "Pile".

Corrigé

La pièce est équilibrée donc, à chaque lancer, la probabilité d'obtenir "Pile" est

p = \frac{1}{6}

.
La pièce non plus n'a pas de mémoire. Les lancers successifs sont donc indépendants les uns des autres.

X

suit donc la loi binomiale de paramètres

n = 5

p = \frac{1}{2}

3. Une urne contient dix billes numérotées de 1 à 10. On tire, successivement et avec remise, trois billes de cette urne.
Pour chaque tirage, on associe au succès le fait que le numéro obtenu soit entre 3 et 5 inclus.

Corrigé

Lors d'un tirage, la probabilité de tirer une bille de numéro 3, 4 ou 5 est

p = \frac{3}{10}

.
Puisque les billes sont remises dans l'urne après chaque tirage, les tirages successifs sont indépendants les uns des autres. La variable

X

suit donc la loi binomiale de paramètres

n = 3

p = \frac{3}{10}

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code : 877