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Déterminer l'ensemble de définition,
calculer la dérivée puis étudier les variations de la fonction $f$ telle que
\[f(x) = x^2\mathrm e^{x}.\]
Corrigé : ensemble de définition
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb R$.
Corrigé : fonction dérivée
$f=uv$ où $u$ et $v$ sont les fonctions
définies sur $\mathbb R$ par
$u(x) = x^2$ et $v(x) =\mathrm e^x$.
Ces deux fonctions sont dérivables sur $\mathbb R$, donc $f$ l'est aussi.
$f'=u'v + uv'$ avec $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = \mathrm e^x$. Donc pour tout réel $x$:
\[f'(x) = 2x\mathrm e^x + x^2\mathrm e^x = x(2+x)\mathrm e^x.\]
Corrigé : variations
On rappelle que pour tout réel $x$:
\[f'(x) = x(2+x)\mathrm e^x.\]
Étudions le signe de $f'(x)$:
\[\begin{array}{|l|lcccccr|} \hline
x&-\infty&\qquad&-2&\qquad&0&\qquad&+\infty\\ \hline
x &&-&|&-&0&+& \\ \hline
2+x &&-&0&+&|&+& \\ \hline
\mathrm e^x &&+&|&+&|&+&\\ \hline
f'(x)&&+&0&-&0&+& \\ \hline
\end{array}\]
Donc $f$ est croissante sur $]-\infty;-2]$, décroissante sur $[-2;0]$ puis croissante
sur $[0;+\infty[$.
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