Transformons : \[\begin{aligned} \frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^{4x}} &\ge 1& \\ \iff \mathrm e^{x-4x} &\ge \mathrm e^0& \\ \iff \mathrm e^{-3x} &\ge \mathrm e^0& \\ \iff -3x &\ge 0& \\ \iff x &\le \frac 0 {-3}& \\ \iff x&\le 0.& \end{aligned}\] Donc l'ensemble solution est \[S = \mathbb R_- = ]-\infty;0].\]

Transformons : \[\begin{aligned} \frac{\mathrm e^{x-2}}{\mathrm e^{3x-6}} &< 1& \\ \iff \mathrm e^{x-2-(3x-6)} &< \mathrm e^0& \\ \iff \mathrm e^{x-2-3x+6} &< \mathrm e^0& \\ \iff \mathrm e^{-2x+4} &<\mathrm e^0& \\ \iff -2x + 4 &< 0& \\ \iff -2x &< -4& \\ \iff x &> \frac{-4}{-2}& \\ \iff x &> 2.& \end{aligned}\] Donc l'ensemble solution est \[S = ]2:+\infty[.\]

Puisque toute exponentielle est strictement positive et que le cube d'un réel strictement positif est strictement positif, pour tout réel $x$ \[\left.\begin{array}{c} \mathrm e^{2x + 1} > 0\\ \left(\mathrm e^x\right)^3 > 0 \end{array}\right\} \implies \frac{\mathrm e^{2x+1}}{\left(\mathrm e^x\right)^3} > 0 \implies \frac{\mathrm e^{2x+1}}{\left(\mathrm e^x\right)^3} \ge 0. \] Donc l'ensemble solution est \[S = \mathbb R.\]

Transformons : \[\begin{aligned} \frac{\mathrm e^{-x-2}}{\mathrm e^{3x}\times \mathrm e^{3}} - 1 &\le 0& \\ \iff \frac{\mathrm e^{-x-2}}{\mathrm e^{3x+3}} &\le 0& \\ \iff \mathrm e^{-x-2-(3x+3)} &\le 1& \\ \iff \mathrm e^{-x-2-3x-3} &\le \mathrm e^0& \\ \iff \mathrm e^{-4x-5} &\le \mathrm e^0& \\ \iff -4x - 5 &\le 0& \\ \iff -4x &\le 5& \\ \iff x &\ge -\frac 5 4.& \end{aligned}\] Donc l'ensemble solution est \[S = \left[\frac 54 ; +\infty\right[.\]