On a : \[\begin{aligned} \mathrm e^{x^2+6x + 5} &\geqslant 1& \\ \iff \mathrm e^{x^2+6x+5} &\geqslant \mathrm e^0& \\ \iff x^2 + 6x + 5 &\geqslant 0.& \end{aligned}\] Le polynôme de degré deux $x^2+6x+5$ admet $-1$ pour racine évidente puisque \[(-1)^2 + 6(-1) + 5 = 1-6+5 = 0.\] Le produit de ses deux racines est $\dfrac ca = \dfrac 5 1$, donc son autre racine est $-5$.
De plus, son coefficient de degré 2 est 1, positif; il est donc positif à l'extérieur de ses racines.
Donc l'ensemble solution de cette inéquation est \[S = ]-\infty;-5]\cup[-1;+\infty[.\]

On a : \[\begin{aligned} \mathrm e^{-x^2-3x+5} &> \mathrm e& \\ \iff \mathrm e^{-x^2-3x+5} &> \mathrm e^1& \\ \iff -x^2 -3x + 5 &> 1& \\ \iff -x^2 - 3x + 5 - 1 &> 0& \\ \iff -x^2 -3x + 4&> 0.& \end{aligned}\] Le polynôme $-x^2 -3x + 4$ admet 1 pour racine évidente car \[-1^2 - 3\times 1 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0.\] Le produit des racines est $\frac c a = 4$, donc son autre racine est 4.
Le coefficient de degré 2 est $-1$ qui est négatif, donc ce polynôme est négatif à l'extérieur de ses racines.
L'inéquation a donc pour ensemble solution: \[S = ]1;4[.\]

On a : \[\begin{aligned} \mathrm e^{2x^2 - 3x - 1} &\le \left(\mathrm e^4\right)^2& \\ \iff \mathrm e^{2x^2 - 3x - 1} &\le \mathrm e^{4\times 2}& \\ \iff \mathrm e^{2x^2 - 3x - 1} &\le \mathrm e^8& \\ \iff 2x^2 - 3x - 1 &\le 8& \\ \iff 2x^2 -3x - 1 - 8 &\le 0& \\ \iff 2x^2 - 3x - 9 &\le 0.& \end{aligned}\] Ce polynôme a pour discriminant \[\Delta = (-3)^2 - 4\times 2 \times (-9) = 81.\] Il est strictement positif, donc le polynôme admet deux racines: \[\begin{aligned} x_1 &=\frac{3-\sqrt{81}}{2\times 2} = \frac{3-9}4 = -\frac 64 = -\frac 32\;;& \\ x_2 &=\frac{3+\sqrt{81}}{2\times 2} = \frac{3+9}4 = \frac{12}4 = 3.& \end{aligned}\] Son coefficient de degré 2 est 2, donc positif, ce qui signifie qu'il est positif à l'extérieur de ses racines. \[S = \left[-\frac 32;3\right].\]

On a : \[\begin{aligned} \frac{\mathrm e^{x^2} \times \left(\mathrm e^{-5}\right)^3} {\left(\mathrm e^{x}\right)^2} &\le 1& \\ \iff \frac{\mathrm e^{x^2 - 5\times 3}}{\mathrm e^{2x}} &\le 1& \\ \iff \mathrm e^{x^2 - 15} &\le \mathrm e^{2x}& \\ \iff x^2 - 15 &\le 2x& \\ \iff x^2 -2x - 15 &\le 0.& \end{aligned}\] Ce polynôme admet pour racine évidente $-3$ car \[(-3)^2 - 2\times (-3) - 15 = 9 + 6 - 15 = 0.\] Sachant que le produit des deux racines est $\frac c a = -15$, l'autre racine est donc 5.
Le coefficient de degré 2 est $a=1$, positif, donc ce polynôme est positif à l'extérieur de ses racines.
L'inéquation a donc pour ensemble solution \[S = [-3;5].\]