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Résoudre dans $\mathbb R$ les équations et inéquations suivantes.
a.
$\mathrm e^{x+1} = 1$;
Corrigé
\[\mathrm e^{x+1} = 1 \iff x + 1= 0 \iff x = -1.\]
Donc $S = \big\{-1\big\}$.
b.
$\mathrm e^{x^2 + 3} < 0$;
Corrigé
Une exponentielle est toujours positive, donc cette inéquation est sans solution.
$S = \emptyset$.
c.
$\mathrm e^{3x +1} \ge \mathrm e^{x-2}$;
Corrigé
Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante:
\begin{align*}
&\mathrm e^{3x+1} \ge \mathrm e^{x-2}&
\\ \iff
&3x + 1 \ge x - 2&
\\ \iff
&3x - x \ge -2 - 1&
\\ \iff
&2x \ge -3&
\\
\iff
&x \ge -\frac 3 2.&
\end{align*}
Donc $S = \left[-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
d.
$\left(\mathrm e^{x}-\mathrm e\right)\left(\mathrm e^{x-3} - 1\right) = 0$.
Corrigé
Un produit est nul ssi l'un des facteurs est nul, donc:
-
Soit
\[\mathrm e^x - \mathrm e = 0 \iff \mathrm e^x = \mathrm e \iff x = 1.\]
-
Soit
\[\begin{aligned}
&\mathrm e^{x-3}-1 = 0&
\\ \iff
&\mathrm e^{x-3} = 1&
\\ \iff
&x -3 = 0&
\\
\iff &x = 3.&
\end{aligned}\]
Donc $S = \big\{1\;;\;3\big\}$.
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