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Soit $x$ un réel différent de $-3$, $-2$, $-1$, 0 ou 1.
Écrire chaque expression sous la forme d'un unique quotient.
\[
A(x) = \frac{x}{x+2}-\frac{x}{x+3}\;;
\]
Corrigé
\[\begin{aligned}
A(x) &= \frac{x}{x+2}- \frac{x}{x+3}&
\\
&=\frac{(x+3)x}{(x+3)(x+2)} - \frac{(x+2)x}{(x+2)(x+3)}&
\\
&=\frac{x^2+3x}{x^2+2x+3x+6}-\frac{x^2+2x}{x^2+3x+2x+6}&
\\
&=\frac{x^2 + 3x - (x^2 + 2x)}{x^2+5x+6}&
\\
&=\frac{x^2 + 3x - x^2 - 2x}{x^2+5x+6}&
\\
&=\frac{x}{x^2+5x+6}.&
\end{aligned}\]
Remarque. Nous avons choisi ici de développer le dénominateur commun.
Il est souvent préférable de ne pas le faire.
\[
B(x) = \frac x {x+1} + \frac{2x -1} x\;;
\]
Corrigé
\[\begin{aligned}
B(x) &= \frac x {x+1} + \frac{2x-1} x&
\\
&=\frac{x\cdot x}{x(x+1)} + \frac{(x+1)(2x-1)}{(x+1)x}&
\\
&=\frac{x^2}{x^2+x}+\frac{2x^2 - x +2x - 1}{x^2+x}&
\\
&=\frac{x^2+2x^2 -x + 2x - 1}{x^2+x}&
\\
&\frac{3x^2+x - 1}{x^2+x}.&
\end{aligned}\]
Remarque. Ici aussi, on aurait pu laisser le dénominateur sous une forme
factorisée.
\[
C(x) = \frac x {x-1} - x.
\]
Corrigé
\[\begin{aligned}
C(x) &=\frac x {x-1} - x&
\\
&=\frac x{x-1} - \frac{(x-1)x}{x-1}&
\\
&=\frac{x}{x-1}-\frac{x^2-x}{x-1}&
\\
&=\frac{x - (x^2 - x)}{x-1}&
\\
&=\frac{x-x^2+x}{x-1}&
\\
&=\frac{-x^2 + 2x}{x-1}.&
\end{aligned}\]
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