Puisque le rectangle à une aire de 300 m²: \[xy = 300 \iff y = \frac{300}x.\]

Longueur de la clôture : \[\ell(x) = 2x + y = 2x + \frac{300}x.\]

$\ell$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et \[\ell'(x) = 2 - 300\times\left(-\frac 1{x^2}\right) =2 - \frac{300}{x^2} = \frac{2x^2 - 300}{x^2}.\]

Puisque le dénominateur $x^2$ est strictement positif, $\ell'(x)$ a le même signe que le polynôme de degré 2 $2x^2 - 300$.
Ce polynôme s'annule quand \[\begin{aligned} 2x^2-300 &= 0& \\ \iff x^2 &= \frac{300}2 = 150& \\ \iff x&=\pm\sqrt{150}=\pm5\sqrt 6.& \end{aligned}\] Son coefficient de degré 2 est positif donc il est positif à l'extérieur de ses racines : \[\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline \rule{0em}{1.2em}x &-\infty&\quad&-5\sqrt 6&\quad&5\sqrt 6&\quad&+\infty \\ \hline x^2-300&&+&0&-&0&+&\\ \hline \end{array}\] Donc on obtient le tableau de variation suivant. \[\begin{array}{|c|ccccc|}\hline \rule{0em}{1.2em}x &0&\qquad&5\sqrt 6&\qquad&+\infty\\ \hline \ell'&&-&0&+& \\ \hline \phantom{x}&&&&&\\ \ell(x) &&\searrow&&\nearrow& \\ &&&20\sqrt 6&&\\ \hline \end{array}\] Avec : \begin{align*} \ell(5\sqrt6) &= 2\times5\sqrt6 + \frac{300}{5\sqrt 6}& \\ &=10\sqrt 6 + \frac{60}{\sqrt 6}& \\ &=10\sqrt 6 + \frac{60\sqrt{6}}{(\sqrt 6)^2}& \\ &=10\sqrt 6 + \frac{60\sqrt{6}}6& \\ &=10\sqrt 6 + 10\sqrt 6& \\ &=20\sqrt 6.& \end{align*}

D'après le tableau de variation établi à la question précédente, $\ell$ admet son minimum en $5\sqrt 6$ qui vaut $20\sqrt 6$.
La plus petite clôture a donc pour dimensions (en mètres) \[x = 5\sqrt 6 \implies y = \frac{300}{5\sqrt 6} = \frac{60}{\sqrt 6} = \frac{60\sqrt{6}}6 = 60\sqrt 6.\] Elle mesure alors $20\sqrt 6$ mètres.