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Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant
des tulipes de couleurs variées.
La probabilité pour qu'un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à $\dfrac{1}{4}$.
La probabilité pour qu'un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à $\dfrac{1}{2}$.
Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes.
Soit $n$ un entier naturel vérifiant $0\leqslant n \leqslant 50$.
On définit les évènements suivants :
-
$A$ : « le jardinier a choisi le lot 1 » ;
-
$B$ : « le jardinier a choisi le lot 2 » ;
-
$J_{n}$ : « le jardinier obtient $n$ tulipes jaunes ».
1.
Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot 1.
a.
Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues
à partir de 50 bulbes du lot 1 ?
Corrigé
La couleur obtenue pour chaque bulbe étant supposée indépendante des autres,
le nombre de tulipes jaunes devrait suivre la loi binomiale de paramètres $n=50$
et $p=\dfrac 1 4$.
b.
Quelle est l'espérance mathématique de cette loi ?
Corrigé
On déduit de la réponse précédente que l'espérance mathématique est
\[np = 50\times \frac 1 4 = 12,5.\]
En moyenne, un lot de type 1 produit 12,5 tulipes jaunes.
c.
Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes.
Corrigé
Sachant que le nombre de tulipes jaunes suit la loi binomiale de paramètres $n=50$
et $p=\frac 1 4$, pour tout entier $n$ entre 0 et 50, la probabilité d'obtenir
$n$ tulipes jaunes est
\begin{align*}
&\binom{50}{n} \times \left(\frac 1 4\right)^n \times \left(1-\frac 3 4\right)^{50-n}&
\\
=&\binom{50}{n} \times \left(\frac 1 4\right)^n \times \left(\frac 3 4\right)^{50-n}&
\\
=&\binom{50}{n} \times \frac 1 {4^n} \times \frac{3^{50-n}}{4^{50-n}}&
\\
=&\binom{50}{n} \times \frac{1\times 3^{50-n}}{4^n\times 4^{50-n}}&
\\
=&\binom{50}{n} \times \frac{3^{50-n}}{4^{50}}.&
\end{align*}
d.
Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes.
On donnera l'arrondi au millième du résultat.
Corrigé
Donc, en particulier, la probabilité d'obtenir 15 tulipes jaunes est
\[\binom{50}{15}\times \frac{3^{50-15}}{4^{50}} \approx 0,089.\]
2.
Probabilités conditionnelles.
a.
Montrer que :
\[P_{B}\left(J_{n}\right) = \binom{50}{n}2^{-50}.\]
Corrigé
Si c'est le lot 2 qui est choisi (événement $B$), alors le nombre de tulipes jaunes
obtenues suit la loi binomiale de paramètres
$n=50$ et $p=\frac 1 2$.
Donc la probabilité d'obtenir $n$ tulipes jaunes est
\[\begin{aligned}
P_B(J_n) &= \binom{50}{n} \times \left(\frac 1 2\right)^n \times \left(1-\frac 1 2\right)^{50-n}&
\\
&= \binom{50}{n} \times \left(\frac 1 2\right)^{50}&
\\
&=\binom{50}{n} \times 2^{-50}.&
\end{aligned}\]
b.
En déduire la probabilité que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes.
Corrigé
$A$ et $B$ forment une partition de l'univers de l'expérience, donc selon la loi des probabilités totales
\begin{align*}
P(J_n) &= P(A\cap J_n) + P(B\cap J_n)&
\\
&=P(A)\times P_A(J_n) + P(B)\times P_B(J_n)&
\\
&=\frac 1 2 \times \binom{50}{n}\times \frac{3^{50-n}}{4^{50}} + \frac 1 2 \times \binom{50}{n}\times 2^{-50}&
\\
&=\frac 1 2 \times \binom{50}{n}\times \left[\frac{3^{50-n}}{4^{50}} + 2^{-50}\right]&
\\
&=\frac 1 2\times\binom{50}{n} \times \left[\frac{3^{50-n}}{(2^2)^{50}} + \frac 1 {2^{50}}\right]&
\\
&=\frac 1 2\times \binom{50}{n} \times \left[\frac{3^{50-n}}{2^{100}} + \frac{2^{50}}{2^{100}}\right]&
\\
&=\frac 1 2\times \binom{50}{n}\times \frac{3^{50-n} + 2^{50}}{2^{100}}.&
\end{align*}
c.
On note $p_{n}$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $A$ sachant que $J_{n}$ est réalisé.
Établir que :
\[p_{n} = \dfrac{3^{50 - n}}{3^{50 - n} + 2^{ 50}}.\]
Corrigé
\begin{align*}
p_n
&= \frac{P(A\cap J_n)}{P(J_n)}&
\\
&= \frac{\frac12 \times \binom{50}{n}\times\frac{3^{50-n}}{4^{100}}}
{\frac12\times\binom{50}{n}\times\frac{3^{50-n}+2^{50}}{2^{100}}}&
\\
&=\frac{\frac{3^{50-n}}{2^{100}}}{\frac{3^{50-n}+2^{50}}{2^{100}}}&
\\
&=\frac{3^{50-n}}{2^{100}} \times \frac{2^{100}}{3^{50-n} + 2^{50}}&
\\
&=\frac{3^{50-n}}{3^{50-n} + 2^{50}}.&
\end{align*}
d.
Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $p_{n} \geqslant 0,9$?
Comment peut-on interpréter ce résultat ?
Corrigé
Résolvons l'inéquation:
\[\begin{aligned}
\frac{3^{50-n}}{3^{50-n} + 2^{50}} &\geqslant 0,9&
\\ \iff
3^{50-n} &\geqslant 0,9\left(3^{50-n} + 2^{50}\right)&
\\ \iff
3^{50-n} &\geqslant 0,9\times 3^{50-n} + 0,9\times 2^{50}&
\\ \iff
3^{50-n} - 0,9\times 3^{50-n} &\geqslant 0,9\times 2^{50}&
\\ \iff
0,1\times 3^{50-n} &\geqslant 0,9\times 2^{50}&
\\ \iff
3^{50-n} &\geqslant \frac 1 {0,1} \times 2^{50}&
\\ \iff
\ln\left(3^{50-n}\right) &\geqslant \ln\left(9\times 2^{50}\right)&
\\ \iff
(50-n)\ln(3) &\geqslant \ln(9) + 50\ln(2)
\\ \iff
50 -n &\geqslant \frac{\ln(9) + 50\ln(2)}{\ln(3)}&
\\ \iff
n &\leqslant 50 - \frac{\ln(9) + 50\ln(2)}{\ln(3)}.&
\end{aligned}\]
Sachant que $n$ est entier et que
\[50 - \dfrac{\ln(9) + 50\ln(2)}{\ln(3)} \approx 16,45\]
l'inéquation précédente est équivalente à
\[n \leqslant 16.\]
S'il y a moins de 17 tulipes jaunes, la probabilité que le jardinier ait
choisi le lot 1 est supérieure à 90 %.
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