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Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$, on considère les
points
\[A(-1;-3;2),\qquad B(3;-2;6),\qquad C(1;2;-4).\]
1.
Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l'on notera $\mathcal{P}$.
Corrigé
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées
\[\begin{pmatrix}3+1\\-2+3\\6-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}.\]
Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées
\[\begin{pmatrix}1+1\\2+3\\-4-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}.\]
S'il existait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ alors on aurait
\[k = \frac 2 4 = \frac 5 1 = \frac{-6} 4.\]
C'est impossible, donc un tel réel n'existe pas. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. Ils définissent bien un plan.
2.a.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.
Corrigé
On constate que :
\begin{align*}
\vec n \cdot \overrightarrow{AB}
&=13\times 4 - 16\times 1 -9\times 4 = 0\;;&
\\
\vec n \cdot \overrightarrow{AC}
&=13\times 2 - 16\times 5 - 9\times (-6) = 0.&
\end{align*}
Le vecteur $\vec n$ est donc orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
qui sont deux vecteurs non colinéaires de $(ABC)$. Il est donc normal à ce plan.
b.
Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est
\[13x - 16y - 9z- 17 = 0.\]
Corrigé
Puisque $\vec n$ est normal au plan $\mathcal P$, ce dernier admet une équation cartésienne
de la forme
\[13x - 16y - 9z + d = 0\]
où $d$ est une constante réelle qui reste à déterminer.
Or on sait que ce plan passe par le point $C$ donc :
\begin{align*}
13x_C - 16y_C - 9z_C + d &= 0&
\\ \iff
13\times 1 - 16 \times 2 - 9 \times (-4) + d &=0&
\\ \iff
13 - 32 + 36 + d &=0&
\\ \iff
d &= -17.&
\end{align*}
Donc $\mathscr P$ admet bien pour équation cartésienne
\[13x - 16y - 9z - 17 = 0.\]
On note $\mathcal{D}$ la droite passant par le point $F(15;-16;-8)$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
3.
Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.
Corrigé
Puisque $\mathcal D$ est orthogonale au plan $\mathcal P$, elle est dirigée pat $\vec n$.
Elle passe de plus par le point $F$, donc elle admet la représentation paramétrique
\[\begin{cases}x = 13t + 15\\y = -16t -16\\z=-9t - 8\end{cases} t\in\mathbb R.\]
4.
On appelle $E$ le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$.
Démontrer que le point $E$ a pour coordonnées $(2;0;1)$.
Corrigé
Soit $E'$ le point de coordonnées $(2;0;1)$.
\[
\begin{cases}
x_{E'} = 13t + 15\\y_{E'} = -16t-16\\z_{E'} = -9t - 8
\end{cases}
\iff
\begin{cases}2 = 13t + 15\\0 = -16t - 16 \\1 = -9t - 9\end{cases}
\iff
t = -1.
\]
Donc $E'$ est sur la droite $\mathcal D$.
\begin{align*}
&13x_{E'} - 16y_{E'} - 9z_{E'} - 17 &
\\
=&13\times 2 - 16\times 0 - 9\times 1 - 17&
\\
=&26 - 9 - 17&
\\
=&0.&
\end{align*}
Donc $E'$ est aussi sur le plan $\mathcal P$.
$E'$, à l'intersection du plan et de la droite, est donc confondu avec $E$ qui admet donc
$(2;0;1)$ pour coordonnées.
5.
Déterminer la valeur exacte de la distance du point $F$ au plan $\mathcal{P}$.
Corrigé
La distance du point $F$ au plan $\mathcal P$ est $FE$. Or $\overrightarrow{FE}$ a pour coordonnées
\[\begin{pmatrix}2-15\\0+16\\1+8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-13\\16\\9\end{pmatrix}.\]
Donc
$FE = \sqrt{(-13)^2 + 16^2 + 9^2} = \sqrt{506}$.
6.
Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite $\mathcal{D}$ dont la distance au plan $\mathcal{P}$
est égale à la moitié de la distance du point $F$ au plan $\mathcal{P}$.
Corrigé
Soit $M$ un tel point. Il est sur $\mathcal D$ donc aligné avec $F$ et $E$. Il existe donc un réel $k$
tel que $\overrightarrow{EM}= k\overrightarrow{EF}$.
De plus
\begin{align*}
\lVert\overrightarrow{EM}\rVert &= \frac 1 2 \lVert\overrightarrow{EF}\rVert&
\\ \iff
\lVert k\overrightarrow{EF}\rVert &= \frac 1 2 \lVert\overrightarrow{EF}\rVert&
\\ \iff
\lvert k \rvert \times \lVert\overrightarrow{EF}\rVert &= \frac 1 2 \lVert\overrightarrow{EF}\rVert&
\\ \iff
\lvert k \rvert &= \frac 1 2&
\\ \iff
k &= \pm\frac 1 2.&
\end{align*}
Notons $(x,y,z)$ les coordonnées de $M$. Alors le vecteur $\overrightarrow{EM}$ a pour coordonnées
\[\begin{pmatrix}x -2\\y\\z-1\end{pmatrix}\]
Si $k = \frac 1 2$, la relation $\overrightarrow{EM}=k\overrightarrow{EF}$ se traduit par
\[\begin{cases}x-2 =\frac 1 2\times 13\\y = \frac 1 2\times (-16)\\z-1 = \frac 1 2\times (-9)\end{cases}
\iff
\begin{cases}x = \frac{17}2\\y = -8\\z = -\frac 7 2\end{cases}.
\]
Si $k = -\frac 1 2$, la relation se traduit par
\[\begin{cases}x-2 =-\frac 1 2\times 13\\y = -\frac 1 2\times (-16)\\z-1 = -\frac 1 2\times (-9)\end{cases}
\iff
\begin{cases}x=-\frac 9 2\\y = 8\\z = \frac{11}2\end{cases}.
\]
Deux points répondent à la question, points dont les coordonnées sont $\left(\dfrac{17}2;-8;-\dfrac 72\right)$
et $\left(-\dfrac 9 2;8;\dfrac{11}2\right)$.
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