ex-813

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Une maison est constituée d'un parallélépipède rectangle ABCDEFGH surmonté d'un prisme EFIHGJ dont une base est le triangle EIF isocèle en I.

Cette maison est représentée ci-dessous.

figure

On a AB= 3, AD=2 et AE=1.

On définit les vecteurs $\vec{i}= \dfrac13\overrightarrow{AB}$, $\vec{j}= \dfrac12\overrightarrow{AD}$, $\vec{k} = \overrightarrow{AE}$.

On munit ainsi l'espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$.

1. Donner les coordonnées du point G.
Corrigé

\[\begin{aligned} \overrightarrow{AG} &=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}& \\ &=3\vec i + 2\vec j + 1\vec k& \end{aligned}\] Donc G(3;2;1).

2. Le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées (2;0;−3) est vecteur normal au plan (EHI).
Déterminer une équation cartésienne du plan (EHI).
Corrigé

Puisque $\vec n$ est normal au plan (EHI), celui-ci admet pour équation cartésienne
2x + 0y − 3z + d = 0,
la constante réelle d restant à déterminer.
On sait que E(0;0;1) appartient au plan (EHI) donc
2xE − 3zE + d = 0 ⇔ 2× 0 - 3× 1 + d= 0 ⇔ d = 3.
Le plan (EIH) a donc pour équation cartésienne
2x − 3z + 3 = 0.

3. Déterminer les coordonnées du point I.
Corrigé

De manière évidente, xI = 1,5 et yI = 0.
De plus, I appartient à (EHI) donc \[2x_I - 3z_I + 3 = 0 \iff 3-3z_I+3 = 0 \iff z_I = 2.\] On en conclut que I(1,5 ; 0 ; 2).

4. Déterminer une mesure au degré près de l'angle $\widehat{EIF}$.
Corrigé

Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{IE}$: \[\begin{pmatrix}0 - 1,5\\0 - 0\\1 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1,5\\0\\-1\end{pmatrix}.\] Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{IF}$: \[\begin{pmatrix}3 - 1,5\\0-0\\1 -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,5\\0\\-1\end{pmatrix}. \] On en déduit que : \[ IE = \sqrt{(-1,5)^2+0^2+1^2} = \sqrt{3,25} = IF \] Calculons le produit scalaire $\overrightarrow{IE}\cdot\overrightarrow{IF}$ de deux manières. \[\begin{aligned} \overrightarrow{IE}\cdot\overrightarrow{IF} &= -1,5\times 1,5 + 0^2 + (-1)^2 = -1,25.& \\ \[\overrightarrow{IE}\cdot\overrightarrow{IF} &= IE\times IF\times \cos\widehat{EIF} = \left(\sqrt{3,25}\right)^2\cos\widehat{EIF}& \\ &= 3,25\cos\widehat{EIF}.& \end{aligned}\] On a donc l'égalité \[3,25\cos\widehat{EIF} = -1,25 \iff \cos\widehat{EIF} = -\frac{1,25}{3,25}=-\frac 5 {13}.\] Donc \[\widehat{EIF} =\arccos\left(-\frac 5 {13}\right) \approx {113}\ \text{°}\]

5. Afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison.
Le relais est représenté par le point R de coordonnées (6;−3;−1).
La tranchée est assimilée à un segment d'une droite Δ passant par R et dirigée par le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées (−3;4;1).
On souhaite vérifier que la tranchée atteindra la maison au niveau de l'arête [BC].

5.a. Donner une représentation paramétrique de la droite Δ.
Corrigé

Puisque Δ passant par R(6;−3;1) est dirigée par $\vec u\begin{pmatrix}-3\\4\\1\end{pmatrix}$, elle admet pour représentation paramétrique \[\Delta : \begin{cases}x = -3t + 6\\y=4t-3\\z=t-1\end{cases},t\in\mathbb R.\]

5.b. On admet qu'une équation du plan (BFG) est x = 3.
Soit K le point d'intersection de la droite Δ avec le plan (BFG).
Déterminer les coordonnées du point K.
Corrigé

K appartenant à la droite Δ, il existe une valeur de t pour laquelle \[\begin{cases}x_K = -3t + 6\\y_K = 4t - 3\\z_K = t - 1\end{cases}.\] Puisque K appartient à (BFG), xK=3 et donc \[3 = -3t + 6 \implies t = 1.\] Alors yK=4×1−3=1 et zK=1−1=0.
K(3;1;0).

5.c. Le point K appartient-il bien à l'arête [BC] ?
Corrigé

Le vecteur $\overrightarrow{BK}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}3-3\\1-0\\0-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}.\] Puisque $\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$, on a \[\overrightarrow{BK} = \frac 1 2\overrightarrow{BC}.\] K est le milieu de [BC], il est donc bien sur ce segment.

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code : 813