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Un biologiste a modélisé l'évolution d'une population de bactéries (en milliers d'entités)
par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par
\[f(t) = \mathrm{e}^3 - \mathrm{e}^{-0,5t^2 + t + 2}\]
où $t$ désigne le temps en heures depuis le début de l'expérience.
À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous.
Pour chacune d'elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
Affirmation 1 :
« La population augmente en permanence. »
Corrigé
Affirmation 1 : fausse.
$f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et
\[f'(t) = -(-0,5\times 2t + 1)\mathrm e^{-0,5t^2+t+2}
=(t-1)\mathrm e^{-0,5t^2 + t + 2}.\]
L'exponentielle étant toujours strictement positive, $f'(t)$ est du signe de $(t-1)$, donc négative sur $[0;1]$.
La fonction $f$ est donc décroissante sur $|0;1]$; pendant la première heure,
la population de bactéries diminue.
Affirmation 2 :
« À très long terme, la population dépassera 21000 bactéries. »
Corrigé
Affirmation 2 : fausse.
Pour tout réel $t$ non nul :
\[-0,5t^2 + t + 2 = t^2\left(-0,5 + \frac 1 t + \frac 2 {t^2}\right).\]
Puisque
\[\lim_{t\to+\infty} \frac 1 t = \lim_{t\to+\infty} \frac 2 {t^2} = 0\]
on peut affirmer que
\[\lim_{t\to+\infty} \left(-0,5 + \frac 1 t + \frac 2 {t^2}\right) = -0,5.\]
D'autre part
\[\lim_{t\to+\infty} t^2 = +\infty.\]
Donc, par produit de limites :
\[\lim_{t\to+\infty}t^2\left(-0,5 + \frac 1 t + \frac 2 {t^2}\right)=-\infty.\]
Sachant qu'en $-\infty$, l'exponentielle tend vers $0$, on a finalement
\[\lim_{t\to+\infty}\mathrm e^{-0,5t^2 + t + 2} = 0.\]
Finalement :
\[\lim_{t\to+\infty}e^3 - \mathrm e^{-0,5t^2 + t + 2} = \mathrm e^3.\]
Or $\mathrm e^3\approx 20,086$ donc la population ne dépassera pas les 20086 bactéries.
Affirmation 3 :
« La population de bactéries aura un effectif de 10000
à deux reprises au cours du temps. »
Corrigé
Affirmation 3 : Vraie.
Sur l'intervalle $[0;1]$ :
\[\begin{aligned}
f(0)&=\mathrm e^3-\mathrm e^2 \approx 12,7\;;&
\\
f(1)&=\mathrm e^3 - \mathrm e^{2,5} \approx 7,9.&
\end{aligned}\]
De plus, la fonction $f$ est continue sur $[0;1]$. Elle prend donc toutes les valeurs
dans l'intervalle $[\mathrm e^3-\mathrm e^{2,5};\mathrm e^3-\mathrm e^2]$.
Or 10 est dans cet intervalle, donc $f$ prendra la valeur 10. De plus, elle est strictement
décroissante, donc elle ne prendra cette valeur qu'une fois.
Sur l'intervalle $[1;+\infty[$:
\[\begin{aligned}
f(1)&=\mathrm e^3-\mathrm e^{2,5}\approx 7,9\;;&
\\
\lim_{x\to+\infty} f(x)&=\mathrm e^3 \approx 20,1.&
\end{aligned}\]
De plus, la fonction $f$ est continue sur cet intervalle.
Elle prend donc toutes les valeurs dans
$[\mathrm e^3-\mathrm e^{2,5};\mathrm e^3]$. 10 appartient à cet intervalle, donc $f$ prendra la valeur 10.
De plus, la dérivée de $f$, du signe de $t-1$, est strictement positive sur $]1;+\infty[$, donc $f$ est
strictement croissante sur $[1;+\infty[$ et ne peut donc prendre la valeur 10 qu'une seule fois.
Finalement, $f$ prendra la valeur 10 exactement deux fois, une fois dans $[à;1]$, une autre fois dans $[1;+\infty[$.
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