7.08

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Un club de basketball a suivi sur plusieurs années l'évolution des abonnements annuels de ses supporters.

Partant de ces observations, on décide de modéliser le nombre annuel d'abonnés sur la base d'un taux de réabonnement de 80% d'une année sur l'autre auxquels s'ajoutent 300 nouveaux abonnements.

On se propose d'étudier l'évolution du nombre annuel des abonnés du club de basketball à l'aide de ce modèle.

Le nombre d'abonnés au club à la fin de l'année 2022 était 1128.

On note $a_n$, le nombre d'abonnés à la fin de l'année 2022+$n$. On a donc \[a_0 = 1128.\]

1. Estimer le nombre d'abonnés à la fin de l'année 2023.
Corrigé

On a : \[a_1 = 1128 \times \dfrac{80}{100} + 300 = 1202,4\] Donc le nombre d'abonné en 2023 peut être estimé à 1202.

2. Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel $n$, on a \[a_{n+1} = 0,8a_n + 300.\] Corrigé

$a_n$ désignant le nombre d'abonnés une année donnée, l'année suivante, il restera 80% de ces abonnés, soit $0,8a_n$ auxquels s'ajouteront 300 nouveaux abonnés. Donc on a bien, quel que soit l'entier naturel $n$: \[a_{n+1} = 0,8a_n + 300.\]

3. Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par \[u_n = {1500} - a_n.\]

a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.
Corrigé

On cherche à déterminer un nombre $q$ tel que $u_{n+1} = qu_n$.
Pour tout entier naturel $n$, on a : \begin{align*} u_{n+1} &= 1500 - a_{n+1}& \\ &= 1500 - (0,8a_n + 300)& \\ &= 1500 - 0,8a_n - 300& \\ &= 1200 - 0,8a_n.& \end{align*} Or : \[u_n = 1500 - a_n \implies a_n = 1500 - u_n.\] Donc : \begin{align*} u_{n+1} &= 1200 - 0,8a_n& \\ &= 1200 - 0,8(1500 - u_n)& \\ &= 1200 - 1200 + 0,8u_n& \\ &= 0,8u_n.& \end{align*} Puisque, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,8u_n$, la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,8$.
De plus son premier terme est : \[u_0 = 1500 - a_0 = 1500 - 1128 = 372.\]

b. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Corrigé

La suite $(u_n)$ étant géométrique, on a donc, pour tout entier naturel $n$: \[u_n = u_0 \times q^n = 372 \times 0,8^n.\]

c. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a \[a_n = {1500} - 372 \times 0,8^n.\] Corrigé

Pour tout entier naturel $n$: \[a_n = 1500 - u_n = 1500 - 372 \times 0,8^n.\]

4. Résoudre algébriquement l'inéquation \[a_n > 1450\] et interpréter le résultat obtenu.
Corrigé

On a: \begin{align*} a_n &> 1450 & \\ \iff 1500 - 372 \times 0,8^n &> 1450& \\ \iff -372 \times 0,8^n &> -50& \\ \iff 0,8^n &<\frac{-50}{-372}& \\ \iff 0,8^n &<\frac{25}{186}& \\ \iff \ln\left(0,8^n\right) &< \ln\left(\frac{25}{186}\right)& \\ \iff n\ln(0,8) &<\ln\left(\frac{25}{186}\right)& \\ \iff n &>\frac{\ln\left(\frac{25}{186}\right)}{\ln 0,8}& \end{align*} Or $\dfrac{\ln\left(\frac{25}{186}\right)}{\ln 0,8} \approx 8,993$ et $n$ est un entier, donc \[n\geqslant 9.\] On en déduit que le nombre d'abonnés dépassera 1450 à partir de l'année 2022+$9$ = 2031.

5. La municipalité dont dépend le club de basketball prévoit de construire une nouvelle salle de sport pour accueillir les rencontres du club.
On souhaite pouvoir accueillir tous les abonnés du club auxquels s'ajouteraient 500 spectateurs occasionnels non abonnés au club.
En tenant compte des résultats précédents, combien de places de spectateurs au minimum doit-on prévoir dans cette salle ?
Corrigé

On peut remarquer que :

Le nombre d'abonnés ne dépassera jamais 1500 car : \begin{align*} 0,8 &> 0& \\ \implies 0,8^n &> 0& \\ \implies -372\times 0,8^n &< 0& \\ \implies 1500 - 372 \times 0,8^n&< 1500.& \\ \implies a_n &<1500.& \end{align*}
Par contre, le nombre d'abonnés s'approchera aussi près que l'on veut de 1500 car : \begin{align*} &-1<0,8<1& \\ \implies &\lim_{n\to+\infty} 0,8^n = 0& \\ \implies &\lim_{n\to+\infty} 1500 - 372\times 0,8^n = 1500 - 372\times 0 \\ \implies &\lim_{n\to+\infty} a_n = 1500.& \end{align*} Il faut donc prévoir $1500+500 = 2000$ places.

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