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$X$ est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale. Voici le tableau incomplet
qui résume cette loi.
\[\begin{array}{|r|c|c|c|c|} \hline
k & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
\rule[-.9em]{0em}{2.6em}P(X=k) & \dfrac{27}{125} & \cdots &\cdots & \dfrac{8}{125}\\ \hline
\end{array}\]
-
Quels sont les paramètres de cette loi binomiale ?
Corrigé
La valeur maximale de $X$ est 3, donc $n = 3$.
\[\begin{aligned}
P(X=3) &= \frac{8}{125}&
\\ \iff
p^3 &= \frac 8 {125}&
\\ \iff
p &= \frac 2 5.&
\end{aligned}\]
Il s'agit donc de la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac 2 5$.
-
Recopier et compléter le tableau.
Corrigé
Alors:
\[\begin{aligned}
P(X=1)&=3\cdot\left(\frac 2 5\right)^1\cdot\left(\frac 3 5\right)^2 = \frac{54}{125} = 0,432\;;&
\\
P(X=2)&=3\cdot\left(\frac 2 5\right)^2 \cdot \left(\frac 3 5\right)^1 = \frac{36}{125} = 0,288.&
\end{aligned}\]
D'où le tableau complété :
\[\begin{array}{|r|c|c|c|c|} \hline
k & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
\rule[-.9em]{0em}{2.6em}P(X=k) & \dfrac{27}{125} & \dfrac{54}{125}
&\dfrac{36}{125} &\dfrac{8}{125}\\ \hline
\end{array}\]
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