Dans chacun des cas suivants, déterminer $u\circ v$ puis $v\circ u$ en précisant
à chaque fois l'ensemble de définition.
-
$u:\ x\mapsto 5x + 3$ et $v:\ \mapsto \sqrt x$.
Corrigé
Pour avoir une image par $v$, un réel doit être positif ou nul.
Par contre, tout réel admet une image par $u$. L'ensemble de définition de $v\circ u$ est donc $\mathbb R_+$.
Pour tout réel $x$ de cet intervalle:
\[(u\circ v)(x)
=u(v(x))
=u\left(\sqrt{x}\right)
=5\sqrt{x} + 3.\]
Tout réel admet une image par $u$ mais pour admettre une image par $v$, $u(x)$ doit être positif. On doit donc avoir
\[5x + 3 \geqslant 0 \iff 5x \geqslant -3 \iff x \geqslant -\frac 3 5.\]
L'ensemble de définition de $v\circ u$ est donc $\left[-\dfrac 3 5;+\infty\right[$.
Pour tout réel $x$ de cet ensemble:
\[(v\circ u)(x)= v(u(x)) = v(5x+3) = \sqrt{5x + 3}.\]
-
$u:\ x\mapsto x^2$ et $v:\ x\mapsto \mathrm e^x$.
Corrigé
Tout réel admet une image à la fois par $u$ et par $v$.
Donc $v\circ u$ et $u\circ v$ sont toutes deux définies sur $\mathbb R$.
Pour tout réel $x$:
\[(v\circ u)(x) =v(u(x)) = v(x^2) = \mathrm e^{x^2}.\]
\[(u\circ v)(x) =u(v(x)) = u(\mathrm e^x) = \left(\mathrm e^x\right)^2 = \mathrm e^{2x}.\]
-
$u:\ x\mapsto x^3 - 1$ et $v:\ x\mapsto \dfrac 1 x$.
Corrigé
Tout réel non nul admet une image par $v$, puis tout réel admet une image par $u$.
Donc la fonction $u\circ v$ est définie sur $\mathrm R^*$.
Pour tout réel $x$ de cet ensemble
\[\begin{aligned}
(u\circ v)(x) &= u(v(x))&
\\
&= u\left(\frac 1 x\right)&
\\
&= \left(\frac 1 x\right)^3 - 1&
\\
&= \frac 1 {x^3} - 1.&
\end{aligned}\]
Si tout réel a une image par $u$, cette image doit être non nulle pour admettre une image par $v$. Or
\[x^3 - 1 = 0 \iff x^3 = 1 \iff x = 1.\]
Donc $v\circ u$ est définie sur $\mathbb R \setminus\{1\}$.
Pour tout réel de cet ensemble
\[(v\circ u)(x)= v(u(x)) = v(x^3 - 1) = \frac 1 {x^3 - 1}.\]
-
$u:\ x\mapsto \sqrt x$ et $v:\ x\mapsto \mathrm e^x$.
Corrigé
Tout réel admet une image strictement positive par $v$. Donc cette image admet à son tour une image par $u$.
$u\circ v$ est donc définie sur $\mathbb R$.
Pour tout réel $x$
\[(u\circ v)(x)= u\left(\mathrm e^x\right)= \sqrt{\mathrm e^{x}}.\]
Pour admettre une image par $u$, un réel doit être positif. Par contre, tout réel admet une image par $v$.
Donc $v\circ u$ est définie sur $\mathbb R_+$.
Pour tout réel positif $x$:
\[(v\circ u)(x) = v(u(x)) = v\left(\sqrt{x}\right) = \mathrm e^{\sqrt{x}}.\]