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Soient

• $u$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $u(x)=x^2$;
• $v$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $v(x)=3x-1$;
• $w$ la fonction définie sur $\mathbb R_+$ par $w(x)=\sqrt{x}$.

1. Préciser l'ensemble de définition de $u\circ v$ puis déterminer explicitement $(u\circ v)(x)$.
   Corrigé
   Les fonctions $u$ et $v$ sont définies sur $\mathbb R$. Donc tout réel a une image par $v$ et, quelle que soit cette image, elle aura aussi une image par $u$.
   Donc $u\circ v$ est définie sur $\mathbb R$.
   Pour tout réel $x$: \[(u\circ v)(x) = u(v(x)) = u(3x-1) = (3x-1)^2.\]
2. Préciser l'ensemble de définition de $v\circ u$ puis déterminer explicitement $(v\circ u)(x)$.
   Corrigé
   Les fonctions $u$ et $v$ sont définies sur $\mathbb R$, donc $v\circ u$ aussi.
   Pour tout réel $x$: \[(v\circ u)(x) = v(u(x)) = v(x^2) = 3x^2 - 1.\]
3. Préciser l'ensemble de définition de $v\circ w$ puis déterminer explicitement $(v\circ w)(x)$.
   Corrigé
   Seuls les réels positifs ont une image par $w$. Quelle que soit cette image, elle admettra une image par $v$ (qui est définie sur $\mathbb R$).
   Donc $(v\circ w)$ est définie sur $\mathbb R_+$.
   Pour tout réel de $\mathbb R_+$: \[(v\circ w)(x) = v(w(x)) = v\left(\sqrt{x}\right) = 3\sqrt{x} - 1.\]
4. Préciser l'ensemble de définition de $w\circ v$ puis déterminer explicitement $(w\circ v)(x)$.
   Corrigé
   Tout réel $x$ a une image par $v$. Cependant, pour que cette image admette aussi une image par $w$, elle doit être positive.
   On doit donc avoir \[v(x)\geqslant 0 \iff 3x - 1 \geqslant \iff x \geqslant \frac 1 3.\] Donc l'ensemble de définition de $w\circ v$ est $\left[\dfrac 1 3\;;\;+\infty\right[$.
   Pour tout réel de $\left[\dfrac 1 3\;;\;+\infty\right[$: \[(w\circ v)(x) = w(v(x)) = w(3x-1) = \sqrt{3x-1}.\]

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