retour
Dans chacun des cas suivants, $f$ est définie et deux fois dérivable sur $\mathbb R$.
Étudier la convexité de la fonction $f$.
-
$f(x) = x^3 - 6x^2$;
Corrigé
Pour tout réel $x$:
\begin{flalign*}
f(x) &= x^3 - 6 x^2\;;&
\\
f'(x)&=3x^2 - 6\cdot 2x = 3x^2 - 12x\;;&
\\
f''(x) &= 3\cdot 2x - 12 = 6x - 12.&
\end{flalign*}
$f''$ est une fonction affine, de racine évidente $x=2$. Son coefficient directeur, $6$, est positif.
Donc sur $]-\infty;2]$, $f''$ est négative et donc $f$ est concave.
Sur $[2;+\infty[$, $f''$ est positive et donc $f$ est convexe.
La courbe représentative de $f$ admet donc un unique point d'inflexion d'abscisse $2$.
-
-
$f(x) = x^4 - 2x^3$;
Corrigé
Pour tout réel $x$:
\begin{flalign*}
&f(x)=x^4 - 2x^3\;;&
\\
&f'(x) = 4x^3 - 2\cdot 3x^2 = 4x^3 - 6x^2\;;&
\\
&f''(x) = 6\cdot 3x^2- 6\cdot 2x = 12x^2 - 12x.&
\end{flalign*}
$f''$ est une fonction polynôme de degré 2, de racines évidentes $0$ et $1$.
De plus son coefficient principal est $12$, donc positif.
$f''$ est donc positive sur $]-\infty;0]$ et $[1;+\infty[$, donc $f$ est convexe sur ces intervalles;
$f''$ est négative sur $[0;1]$ et donc $f$ est concave sur cet intervalle.
La courbe représentative de $f$ admet donc deux points d'inflexion d'abscisses $0$ et $1$.
-
$f(x) = x\mathrm e^x$.
Corrigé
Pour tout réel $x$:
\begin{flalign*}
f(x) &= x\mathrm e^x\;;&
\\
f'(x)&=1\mathrm e^x + x\mathrm e^x = (1+x)\mathrm e^x\;;&
\\
f''(x) &= 1\mathrm e^x + (1+x)\mathrm e^x&
\\
&= (1+1+x)\mathrm e^x&
\\
&= (2+x)\mathrm e^x.&
\end{flalign*}
Puisque l'exponentielle $\mathrm e^x$ est strictement positive, $f''$ est du signe de $x\mapsto 2+x$.
Donc
Sur $]-\infty;-2]$, $f''$ est négative et donc $f$ est concave;
sur $[-2;+\infty[$, $f''$ est positive et $f$ est convexe.
Le point d'abscisse $-2$ est donc un point d'inflexion.
retour