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1. Soit ABC un triangle équilatéral de côté 1 et H le pied de la hauteur issue de A.
   
   1. Que peut-on dire de H vis-à-vis du segment [BC] ?
      En déduire la longueur BH.
      Corrigé
      H est le milieu de [BC] donc \[BH = \dfrac{BA} 2 = \dfrac 1 2.\]
   2. Quelle est la mesure en degrés de l'angle $\widehat{CBA}$ ?
      Corrigé
      $\widehat{CBA}=60°$ car le triangle $ABC$ est équilatéral.
   3. En utilisant le triangle rectangle AHC, montrer que \[HC=\dfrac{\sqrt 3} 2.\] Corrigé
      Relation de Pythagore dans le triangle rectangle AHC : \[\begin{aligned} AC^2 &= AH^2 + HC^2& \\ \implies HC^2 &= AC^2 - AH^2& \\ \implies HC^2 &= 1^2 - \left(\frac 1 2\right)^2& \\ \implies HC^2 &= 1 - \frac 1 4& \\ \implies HC^2 &= \frac 3 4.& \end{aligned}\] Donc : \[HC = \sqrt{\dfrac 3 4} = \dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 4} = \dfrac{\sqrt 3} 2.\]
   4. Donner alors les valeurs exactes de cos(60°) et sin(60°).
      Corrigé
      Dans le triangle rectangle AHC on a donc : \begin{align*} \cos\widehat{HAC} &= \frac{AH}{AC} = \frac{1/2}1 = \frac 1 2& \\ \implies \cos 60° & = \frac 1 2;& \\ \sin\widehat{HAC} &= \frac{HC}{AC} = \frac{\sqrt{3}/2} 1 = \frac{\sqrt 3} 2& \\ \implies \sin 60° &= \frac{\sqrt 3} 2.& \end{align*}
   5. Montrer que $\widehat{ACH}=30^\circ$.
      En déduire les valeurs exactes de sin(30°) et cos(30°).
      Corrigé
      La somme des angles du triangle AHC mesure 180°, donc : \[\begin{aligned} \widehat{ACH} &= 180 - \widehat{CHA} - \widehat{HAC}& \\ &= 180 - 90 - 60 = 30°.& \end{aligned}\] Alors : \begin{align*} \cos\widehat{ACH} &= \frac{CH}{AC} = \frac{\sqrt 3/2}1 = \frac {\sqrt 3} 2& \\ \implies \cos 30° &= \frac {\sqrt 3} 2;& \\ \sin\widehat{ACH} &= \frac{AH}{AC} = \frac{1/2} 1 = \frac 1 2& \\ \implies \sin 30° &= \frac 1 2.& \end{align*}
2. Soit désormais ABH un triangle rectangle isocèle en H tel que AH = BH = 1.
   
   1. Donner la valeur exacte de la longueur AB.
      Corrigé
      En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle AHB : \[AB^2 = AH^2 + HB^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies AB = \sqrt 2.\]
   2. Expliquer pourquoi $\widehat{BAH}=45^\circ$.
      Corrigé
      La somme des angles du triangle AHB vaut 180° et puisqu'il est isocèle en H, \[\widehat{BAH} = \widehat{ABH}.\] Alors : \[\begin{aligned} \widehat{ABH} + \widehat{BAH} &= 180 - \widehat{AHB} = 180 - 90 = 90°& \\ \implies \widehat{ABH}&=\widehat{BAH} = \frac{90} 2 = 45°.& \end{aligned}\]
   3. En déduire les valeurs exactes de cos(45°) et sin(45°).
      Corrigé
      On a donc : \begin{align*} \cos\widehat{BAH} &= \frac{AH}{AB} = \frac 1 {\sqrt 2}& \\ \implies \cos 45° &= \frac 1 {\sqrt 2};& \\ \sin\widehat{BAH} &= \frac{BH}{AB} = \frac 1 {\sqrt 2}& \\ \implies \sin 45° &= \frac 1 {\sqrt 2}.& \end{align*}
   4. Montrer que \[\dfrac 1{\sqrt 2} = \dfrac{\sqrt 2}2.\] Corrigé
      \[\frac 1 {\sqrt 2} = \frac{1 \times {\color{red}\sqrt 2}}{\sqrt 2 \times {\color{red}\sqrt 2}} = \frac{\sqrt 2}{\left(\sqrt 2\right)^2} =\frac{\sqrt 2} 2.\]

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