EX COR. 05

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Le glacier d'Aletsch, classé par l'UNESCO au patrimoine mondial de l'humanité, est le plus grand glacier des Alpes.

Pour étudier le recul de ce glacier au fil des années, une première mesure a été effectuée en 1900 : ce glacier mesurait alors 25,6 km.

Des relevés sont effectués depuis tous les 20 ans : le recul du glacier est mesuré par rapport à la position où se trouvait initialement le pied du glacier en 1900.

On note $t$ la durée, en années, écoulée depuis 1900, et $r$ le recul correspondant, mesuré en km.

D'après les données, on modélise la situation par un modèle exponentiel : \[ r(t) = \mathrm e^{0,025t-1,599}.\] D'après ce modèle, déterminer :

1. le recul du glacier en 2025 (à 10⁻² près) ;
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Ici $t= 2025-1900 = 125$. Or \[ r(t)=125 =\mathrm e^{0,025\times 125 - 1,599} =\mathrm e^{1,526} \approx 4,6\ \text{km.} \]

2. l'année au cours de laquelle la longueur du glacier aura diminué de moitié ;
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On cherche $t$ tel que : \[\begin{aligned} r(t)&=\frac{25,6}{2}& \\ \iff \mathrm e^{0,025t - 1,599} &=12,8& \\ \iff 0,025t - 1,599 &= \ln(12,8)& \\ \iff t&=\frac{\ln(12,8) +1,599}{0,025}.& \end{aligned}\] Puisque \[\frac{\ln(12,8) + 1,599}{0,025}\approx 165,94\] le modèle indique que le glacier aura diminué de moitié au cours de l'année \[1900 + 165 = 2065.\]

3. l'année de disparition du glacier.
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Le glacier aura disparu lorsque \[\begin{aligned} r(t)&=25,6& \\ \iff \mathrm e^{0,025t-1,599} &= 25,6& \\ \iff 0,025t - 1,599 &=\ln(25,6)& \\ \iff t&=\frac{\ln(25,6) + 1,599}{0,025}& \end{aligned}\] De \[\frac{\ln(25,6) + 1,599}{0,025} \approx 193,7\] on déduit que le glacier devrait avoir totalement disparu durant l'année \[1900 + 193 = 2093.\]

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code : 73