Utilisons une identité remarquable pour développer $a$ \[\begin{aligned} a &= \left(\sqrt{2}+\frac 1 {\sqrt 2}\right)^2&\\ &\left(\sqrt 2\right)^2 + 2\cdot \sqrt 2 \cdot \frac 1 {\sqrt 2} + \left(\frac 1 {\sqrt 2}\right)^2&\\ &=2 + 2\cdot\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2} + \frac 1 2&\\ &=2 + 2\times 1 + \frac 1 2&\\ &= 3 + \frac 1 2&\\ &= \frac{6+1} 2&\\ &=\frac 7 2.& \end{aligned}\] Donc $a$ est bien un nombre rationnel.