Méthode 1 — par décomposition des vecteurs. \[\begin{aligned} \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB} &=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)\cdot \left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\right)& \\ &=\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{AB}& \end{aligned}\] Or $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{DA}$ sont colinéaires de sens opposés, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont orthogonaux, de même que $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{DA}$. Enfin, $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires et de même sens.
Donc \[\begin{aligned} \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB} &=-AD^2 + 0 + 0 + DC \times AB& \\ &=-3^2 + 2\times 4,5& \\ &=-9+9 = 0.& \end{aligned}\] Ces vecteurs sont donc orthogonaux et les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ sont perpendiculaires.

Méthode 2 — utilisation d'un repère.
Considérons le repère orthonormé $(A;\vec i,\vec j)$ où $\vec i$ est colinéaire et de même sens que $\overrightarrow{AB}$ et $\vec j$ est colinéaire et de même sens que $\overrightarrow{AD}$. On a de manière immédiate les coordonnées des sommets dans ce repère : \[A(0\;;\;0),\ B(4,5\;;\;0),\ C(2;3),\ D(0,3).\] Donc le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}2-0\\3-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\] et le vecteur $\overrightarrow{BD}$ a pour coordonnées \[\begin{pmatrix}0 - 4,5\\3 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4,5\\3\end{pmatrix}.\] Donc : \[\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} = 2\times (-4,5) + 3\times 3 = -9 + 9 = 0.\] Ces vecteurs sont orthogonaux, donc les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ sont perpendiculaires.