Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on donne les points
\[A(-2\;;\;5),\quad B(4\;;\;3)\ \text{et}\ C(1\;;\;-6).\]
-
Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$.
Corrigé
Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ a pour coordonnées
\[
\begin{pmatrix}x_A - x_B\\y_A - y_B\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-2-4\\5-3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-6\\2\end{pmatrix}.
\]
Le vecteur $\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées
\[
\begin{pmatrix}
x_C-x_B\\y_C - y_B\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1-4\\-6-3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-3\\-9\end{pmatrix}.\]
-
Calculer $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$.
Corrigé
Le repère étant orthonormé :
\[\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}
=-6\times(63) + 2\times(-9) = 18 - 18 = 0.\]
-
En déduire la nature du triangle $ABC$.
Corrigé
Puisque $\overrightarrow{BAC}\cdot\overrightarrow{BC} =0$, ces vecteurs sont orthogonaux donc
le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
Il n'est pas isocèle car
\[\begin{aligned}
\lVert\overrightarrow{BA}\rVert &=\sqrt{(-6)^2+2^2} = \sqrt{40}=2\sqrt{10}\;;&
\\
\lVert\overrightarrow{BC}\rVert &=\sqrt{(-3)^2 + (-9)^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\;;&
\end{aligned}\]
donc $BA\neq BC$.
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