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Pour chacune des questions 1 à 6, trois affirmations vous sont proposées dont une seule est exacte. Pour chaque question, déterminer la réponse exacte.

1. Le nombre réel \[\ln \left( \mathrm e^3\right) - \ln \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}\right)+ 2\ln \left(\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}\right)\] est égal à :
   1. 2 ;
   2. $\sqrt{\mathrm{e}}$ ;
   3. 4.
   Corrigé
   Réponse c. En effet : \[\begin{aligned} &\ln(\mathrm e^3) - \ln\left(\frac 1 {e^2}\right) + 2\ln\left(\frac 1 {\sqrt{\mathrm e}}\right)& \\ =&3\ln(\mathrm e) + \ln(\mathrm e^2) - 2\ln\left(\sqrt{\mathrm e}\right)& \\ =&3\times 1 + 2\ln(\mathrm e) - 2\times \frac 1 2 \times \ln(\mathrm e)& \\ =&3 + 2 - 1& \\ =&4.& \end{aligned}\]
2. L'équation \[\ln \left( x^2\right) = 0\] a pour solution(s) dans $\mathbb R$ :
   1. 0 ;
   2. $\mathrm e$ ;
   3. −1 et 1.
   Corrigé
   Réponse c. En effet : \[\ln(x^2) = 0 \iff x^2=1 \iff x=\pm 1.\]
3. Une valeur approchée à l'unité près de \[\ln \left(2^{10\:000}\right)\] est :
   1. 6 931 ;
   2. 693 ;
   3. 69 315.
   Corrigé
   Réponse a. On a : \[\ln\left(2^{10\:000}\right) = 10\:000\ln(2) \approx 6931.\]
4. La dérivée $g'$ de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par \[g(x)=x(\ln x - 1)\] est définie par
   1. $g'(x) = \ln x$ ;
   2. $g'(x)=\dfrac{1}{x}- 1$ ;
   3. $g'(x) = \ln x - 1$.
   Corrigé
   Réponse a. En effet, pour tout réel $x>0$, \[\begin{aligned} g'(x) &= 1\times \left(\ln(x) - 1\right) + x \times \frac 1 x& \\ &= \ln(x) - 1 + 1& \\ &=\ln(x).& \end{aligned}\]
5. Dans un repère, une équation de la tangente au point d'abscisse e à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par \[f(x) = x+ \ln x\] est :
   1. $y=x+ \mathrm{e} + 1$ ;
   2. $ y=\dfrac{1+\mathrm{e}}{\mathrm e}x$ ;
   3. $y = x+\mathrm{e}+1$.
   Corrigé
   Réponse b. Pour tout réel $x>0$, \[f'(x) = 1 + \dfrac 1 x = \dfrac{x+1} x.\] On a donc: \[\begin{aligned} f'(\mathrm e) &= \frac{\mathrm e + 1}{\mathrm e}\;;& \\ f(\mathrm e) &= \mathrm e + \ln(\mathrm e) = \mathrm e + 1.& \end{aligned}\] L'équation de la tangente en e est : \begin{align*} y &=f'(\mathrm e)(x - \mathrm e) + f(\mathrm e)& \\ \iff y &=\frac{\mathrm e + 1}{\mathrm e}(x - \mathrm e) + \mathrm e + 1& \\ \iff y &=\frac{\mathrm e+1}{\mathrm e} x - \mathrm e - 1 + \mathrm e + 1& \\ \iff y &= \frac{\mathrm e + 1}{\mathrm e} x.& \end{align*}
6. La fonction f étant définie sur l'intervalle ]0;10[ par \[f(x)=(\ln x)^2 -2\ln x,\] on peut affirmer que :
   1. l'équation f(x) = 0 admet une solution unique sur l'intervalle ]0;10[ ;
   2. la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]0;10[ ;
   3. la fonction f' s'annule une fois en changeant de signe sur l'intervalle ]0;10[.
   Corrigé
   Réponse c. L'ensemble de définition de cette équation est ]0;+∞[. On a : \[\left(\ln(x)\right)^2 - 2\ln(x) = 0 \iff \ln(x) \times \left(\ln(x) - 2\right)=0.\] Ce produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. \begin{gather} \ln(x) = 0 \iff x = 1;\\ \ln(x) - 2 = 0 \iff \ln(x) = 2 \iff x = \mathrm e^2. \end{gather} Donc l'équation n'a pas une mais deux solutions.
   Pour tout réel $x>0$ : \[ f'(x) = 2 \times \frac 1 x \times \ln(x) - \frac 2 x = \frac{2(\ln(x) - 1)}{x}.\] Puisque $x>0$, $f'(x)$ est du signe de $2\ln(x) - 1$.
   Cette dernière quantité est négative si $x<\mathrm e$, nulle si $x=\mathrm e$ et postive si $x>\mathrm e$.
   Donc elle s'annule uniquement en e en changeant de signe.

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