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Soit $f$ la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par
\[f(x) =\frac{4-x}{x-2}.\]
Démontrer que $f$ est une fonction décroissante.
Corrigé
La fonction $f$ est dérivable sur $]2;+\infty[$ et sa fonction dérivée s'écrit :
\[\begin{aligned}
f'(x) &=
\frac{-1(x - 2) - (4-x)\times 1}{(x-2)^2}&
\\
&=
\frac{-x + 2 -4 + x}{(x-2)^2}&
\\
&=
\frac{-2}{(x-2)^2}.&
\end{aligned}\]
Or, puisque c'est un carré, le dénominateur est positif. En revanche, le numérateur est négatif.
Donc $f'(x)$ est négative, et cela pour tout $x\in]2;+\infty[$.
On en déduit que $f$ est décroissante sur cet intervalle.
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