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Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on donne les points:
\[ A(2;1;-1),\quad B\left(\frac 3 2;1;-\frac 1 2\right) \quad\text{et}\quad C(3;5;0).\]
Déterminer la nature du triangle $ABC$.
Corrigé
On calcule les coordonnées des vecteurs :
\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-\frac 1 2 \\ 0 \\ \frac 1 2\end{pmatrix},
\quad
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1\\4\\1 \end{pmatrix}
\quad\text{et}\quad
\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}\frac 3 2 \\ 4 \\ \frac 1 2\end{pmatrix}.\]
Alors :
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -\frac 1 2 \times 1 + 0\times 4 + \frac 1 2 \times 1 = 0.\]
On en déduit que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.\\
Ce triangle peut-il aussi être isocèle en $A$ ?
\[\overrightarrow{AB}^2 = \left(-\frac 1 2\right)^2 + 0^2 + \left(\frac 1 2\right)^2 = \frac 1 2\]
mais
\[\overrightarrow{AC}^2 = 1^2 + 4^2 + 1^2 = 18.\]
Puisque $AB\neq AC$, le triangle n'est pas isocèle.
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