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L'espace étant ramené à un repère orthonormé, démontrer que le vecteur
\[\vec u\begin{pmatrix}\cos\alpha\cos\beta \\ \cos\alpha\sin\beta \\ \sin\alpha\end{pmatrix}\]
a pour norme 1.
Indication
Corrigé
On rappelle que pour tout réel $x$,
\[\cos^2 x + \sin^2 x = 1.\]
Pour tout réel $\alpha$ :
\begin{align*}
\lVert \vec u \rVert^2
&=\vec u^2&
\\
&=(\cos\alpha \cos \beta)^2 + (\cos\alpha\sin\beta)^2 + (\sin\alpha)^2&
\\
&=\cos^2\alpha \cos^2\beta + \cos^2\alpha\sin^2\beta + \sin^2\alpha&
\\
&=\cos^2\alpha\underbrace{(\cos^2\beta + \sin^2\beta)}_1 + \sin^2\alpha&
\\
&=\cos^2\alpha + \sin^2\alpha&
\\
&=1.&
\end{align*}
Une norme étant toujours positive,
\[\lVert \vec u \rVert^2 = 1 \implies \lVert \vec u \rVert = 1.\]
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